Hallo,

das Newton-Verfahren wird herangezogen um numerisch die Nullstellen einer Funktion zu berechnen. 

Wenn wir nun die Nullstelle der Funktion \( f(x) = x^2 -a \) bestimmen, so gilt für die Nullstelle

\( x^2 -a = 0 \\ \Rightarrow x^2 = a \\ \Rightarrow x = \sqrt{a} \). 

Die Nullstelle dir wir erhalten, ist also die Wurzel von \( a \). 

Wir können also das Newton-Verfahren auf unsere Funktion anwenden und erhalten die Wurzel von \( a \). Wir können also durch dieses Verfahren nummerisch die Wurzel einer Zahl ziehen. 

Diese Überlegung steckt auch hinter dem Heron-Verfahren. Wir wenden das Verfahren ganz allgemein auf die Funktion \( f(x) = x^2 -a \) an und erhalten durch folgende Umformung das Heron-Verfahren.

\( f(x) = x^2 -a \\ \Rightarrow f'(x) = 2x \)

Es gilt für das Newton-Verfahren

\( x_{n+1} = x_n - \frac {f(x_n)} {f'(x_n)} = x_n - \frac {x_n^2 -a} {2x_n} = \frac 1 2 \cdot ( x_n - \frac a {x_n} ) \)

Der letzte Term entspricht dabei dem Iterationsschritt des Heron-Verfahrens.

Grüße Christian