Hallo,
durch elementare Zeilenumformungen werden zwar gewisse Eigenschaften erhalten, tatsächlich wird die Abbildung selbst jedoch nicht beibehalten. Es wird beispielsweise der Rang, die Lösung des Gleichungssystems, die Invertierbarkeit beibehalten, aber beispielsweise nicht die Determinante oder wie bereits erwähnt die Abbildung.
Betrachten wir die Abbildung
\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
Das ist die Identitätsabbildung und bildet jeden Vektor auf sich selbst ab.
Wenn wir nun die zweite Zeile auf die erste Spalte addieren erhalten wir
\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
Diese Abbildung erhält den \( y- \) und \(z-\)Wert, jedoch gilt für den \(x-\)Wert, \( x+y \)
Deshalb wird Ähnlichkeit bei Matrizen eingeführt. Ähnliche Matrizen bechreiben immer die selbe Abbildung, haben die selbe Determinante, selbe Spur, selben Rang, selbes Minimalpolynom und dadurch natürlich auch die selben Eigenwerte/Eigenvektoren.
Grüße Christian
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Hallo Christian
Vielen Dank für die fundierte Antwort, ergibt ja auch Sinn dass man dies so macht ;)
Grüsse Christian
─ chrugi 09.03.2019 um 12:34Freut mich zu hören. :)
Grüße Christian
─ christian_strack 09.03.2019 um 16:26
Noch ein kleiner Anhang.
Mir ist bewusst, dass wenn man die Eigenwerte/Eigenvektoren sucht die Gleichung gilt: A*v-x*v=0 gilt und man die Umformumgen machen darf.
Nur habe ich mir überlegt wieso man dies nicht einfach bei einer Matrix "ohne" Gleichungsystem machen darf?
(Sorry für die vielleicht etwas blöde frage, stehe momentan auf dem Schlauch)
Vielen Dank
─ chrugi 09.03.2019 um 00:23