Lage Gerade/Ebene Konstruktionsaufgabe

Aufrufe: 92     Aktiv: vor 1 Jahr, 2 Monate

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Hallo

 

Gegeben ist eine Ebene,also OV und beide RV sind gegeben,und nun muss ich eine Gerade  bilden,die real parallel bzw. identisch zu ihr ist.

Ich benutze die Koordinatenform der Ebene,d.h der Parameter muss sich am Ende selbst auflösen und ungleich sein mit dem Endwert bzw. gleich.

Irgendwelche Lösungsvorschläge? 

 

gefragt vor 1 Jahr, 2 Monate
c
crowfood,
Schüler, Punkte: 4
 

Musst du zwingend die Koordinatenform nutzen?

  -   mcbonnes, vor 1 Jahr, 2 Monate

Nein,aber das ist ja die einfachste Methode.


Könnte man aber nicht theoretisch die Determinante bestimmen und dann den Parameter so verlegen,dass die Bedingungen für eine identische Gerade erfüllt sind?


Oder gibt es einen kürzeren Weg?


  -   crowfood, vor 1 Jahr, 2 Monate
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1 Antwort
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Hallo,

aus der Koordinatenform einer Ebene \(\varepsilon: ax+by+cz=d\) lässt sich der Normalenvektor \(\vec{n}=\begin{pmatrix}a\\ b\\c \end{pmatrix}\) ablesen. Sei ferner P ein Punkt, der in der Ebene liegt, sprich es gilt \(P \subseteq \varepsilon\).

Nun muss das Skalarprodukt des Richtungsvektors der Geraden und dem NV der Ebene gleich null sein. (\(\vec{a}:=\textrm{RV}_{\varepsilon}\))

Angenommen, wir kennen diesen, stellst du nun eine Geradengleichung einer Geraden g auf, so gilt:

\(g \subseteq \varepsilon \Leftrightarrow g:\vec{x}= \overrightarrow{OP}+\lambda \vec{a}\\
g \parallel \varepsilon \Leftrightarrow g:\vec{x}=\overrightarrow{OQ}+ \lambda \vec{a} \;\;\;\;\; (Q \notin \varepsilon)\)

 

Z.B.

\(\varepsilon: 5x+7y-3z=-44 \rightarrow \vec{n}=\begin{pmatrix}5\\ 7\\-3 \end{pmatrix}\)

Nun suchen wir einen zu \(\vec{n}\) parallelen Vektor, also setzen wir zwei beliebige Werte ein, und lösen auf:

\(\begin{pmatrix}5\\ 7\\-3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}3\\ 2\\x \end{pmatrix} =0 \longrightarrow x=\dfrac{29}{3}\)

Wählen wir nun einen Punkt P, der in der Ebene liegt, z.B. \(P(2|3|25)\), so lautet die Geradengleichung für eine Gerade, die in der Ebene liegt:

\(g_1:\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\ 3\\25 \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix}3\\ 2\\\frac{29}{3} \end{pmatrix}\)

und die Gleichung für eine Gerade, die parallel, aber nicht in der Ebene liegt:

\(g_2:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\ -15\\8 \end{pmatrix}+\lambda \begin{pmatrix}3\\ 2\\\frac{29}{3} \end{pmatrix}\)

 

Hier nochmal visuell mit Geogebra:

https://www.geogebra.org/m/uu9rqfb8

geantwortet vor 1 Jahr, 2 Monate
m
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