Verknüpfung von Funktionen mit dem neutralen Element


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Hallo! Ich versuche gerade eine recht simple Aussage zu beweisen, aber gerade weil sie so simpel ist, fällt es mir anscheinend schwer.

Zu zeigen: \( \forall f : X \to Y : f = f 1_X = 1_Y f \)

Mein Beweis: \( f = f(f^{-1}f) = f1_Y\) und \( f=f(f^{-1}f) = (ff^{-1})f=1_Xf \; \forall f : X \to Y\). Stimmt das so?

 

gefragt vor 8 Monate, 4 Wochen
m
mathestudent97,
Student, Punkte: 2
 

Wenn die Frage für dich geklärt ist, dann schließe sie doch bitte, indem du auf eins der Häckchen links klickst.


Grüße Christian

  -   christian strack, verified kommentiert vor 8 Monate, 3 Wochen
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2 Antworten
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Also du hast recht, das ist eine echt doofe Aufgabe!

Eigentlich stimmt das alles, was du gemacht hast, auch die Assoziativität beim zweiten Teil zu benutzen ist geschickt! Du hast nur in deinem Beweis dann \(1_{X}\) und  \(1_{Y}\) vertauscht. (Die Verkettung liest sich ja von rechts!)

Man könnte höchstens den Beweis für ein beliebiges Element der Definitionsmenge führen und damit die Definition der identischen Abbildung besser anwenden.

Aber grundsätzlich (wenn schon klar ist, dass \( f^{-1} \cdot f = 1_{X} \) und \( f \cdot f^{-1} = 1_{Y} \) ) müsste das auch so stimmen.

geantwortet vor 8 Monate, 4 Wochen
jojoliese,
Student, Punkte: 962
 
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Hallo,

ich gehe mal davon aus, dass hier nicht von der Multiplikation sondern von der Komposition zweier Funktionen die Rede ist, oder?

Ich würde direkt über die Definition der Identitätsabbildung argumentieren, da deine Aussage für alle Funktionen gelten soll, aber nicht zu jede Funktion ein Inverses (eine Umkehrabbildung) existiert.

Die Definition der Idenitätsabbildung ist, 

\( 1_M: \  M \to M, \ x \to x \)

Für die Komposition zweier Funktionen gilt

\( f \circ g = f(g(x)) \)

Also folgt mit \( x \in X \) und \( f(x) \in Y \)

\( f \circ 1_X = f(1_X(x)) \) und \( 1_Y \circ f = 1_Y(f(x)) \).

Kannst du es damit beweisen?

Grüße Christian

geantwortet vor 8 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 17.22K
 
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