Hallo,

es gilt

\( (x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n} {k} x^{n-k} y^k \)

Du hast 

\( (x+1)^p -1 = (1+x)^p -1  =  ( \sum_{k=0}^p \binom{p} {k} 1^{p-k} x^k ) -1 = ( \sum_{k=0}^p \binom{p} {k}  x^k ) -1 \)

Nun denke ich mal das beim zweiten Umformungsschritt vermutlich folgendes gemacht wurde

\( ( \sum_{k=0}^p \binom{p} {k} 1^{p-k} x^k ) -1 =  \binom {p} {0} x^0 + (\sum_{k=1}^p \binom{p} {k}  x^k ) -1 = 1 + ( \sum_{k=1}^p \binom{p} {k}  x^k ) -1 =  \sum_{k=1}^p \binom{p} {k} x^k \)

Deine Summe geht nun nur noch von \( k=1 \) bis \( p \). Der erste Summand der Reihe ergibt nämlich genau \( 1 \).

Damit macht auch die spätere Umformung wieder Sinn, mit \(p \to p-1 \). Denn damit können wir unsere Reihe wieder von \( k =0 \) starten lassen. 

Bin gerade noch unterwegs. Den letzten Schritt muss ich mal genau durch rechnen. Mache ich nacher. Vielleicht hilft das ja schon, dass du selbst drauf kommst :)

Grüße Christian