Also die offensichtlichen Raumdiagonalen sind (denke ich) klar: Du hast in der Mitte ein Quadrat und kannst jeweils von den vier Eckpunkten aus zwei Diagonalen ziehen. Da das Quadrat Seitenlänge a hat, sind diese Diagonalen nach Pythagoras offensichtlich \( a^2+a^2 = 2a^2 \) und damit für die zwei Diagonalen \( d=\sqrt{2}a\)

Dann ist in der Zeichnung noch eine rote Linie eingezeichnet, diese bildet die Hälfte einer weiteren Raumdiagonalen (vom oberen Punkt zum unteren)

Diese rote Linie (ich nenne sie "e") bildet mit einer Kante des Oktaeders und der Hälfte der gerade bestimmten Diagonale durch die Mitte ein rechtwinkliges Dreieck, also kann ich auch hier den Pythagoras anwenden und es gilt:

\(a^2=e^2+(\frac{d}{2})^2 \)

Ich mache gleich noch eine Zeichnung, hoffe ich konnte dir helfen und viel Erfolg bei deiner Arbeit.