Definition von gleichmäßiger Stetigkeit:

Für jedes epsilon>0 gibt es ein delta>0 so dass gilt: |x-y|<delta => |f(x)-f(y)|<epsilon

Der Trick ist den Term |f(x)-f(y)| soweit nach oben abzuschätzen so dass der nach oben abgeschätzte Term nur noch von delta, Zahlen oder konstanten abhängig ist.

Diesen Wert kannst du dann als epsilon definieren und diese Gleichung nach delta umformen. Nun sagst du du könntest ein delta so wählen so dass epsilon wirklich größer ist als |f(x)-f(y)| ist. Dann Schreiber du noch was du eigentlich gezeigt hast also Folgerung: es gibt ein delta für jedes epsilon sodass die obere Folgerung gilt. 

Zu deinem Beispiel:

Guck dir am besten den folgenden Link an. Vorallem die Beispiele. Versuche jeden Schritt nachzuvollziehen! Und dann probiere dich nochmal an der Aufgabe!

de.m.wikibooks.org/wiki/Mathe_für_Nicht-Freaks:_Gleichmäßige_Stetigkeit

PS: Kleiner Tipp, du brauchst sehr oft die Dreiecksungleichung also guck dir das auch nochmal an!

LG Nils