Beweis Untergruppe


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Hallo zusammen,

Ich habe eine Beweisaufgabe die ich nicht lösen kann:

Sei G eine Gruppe mit Untergruppen U1 und U2. Beweisen Sie, dass U1 ∪U2 genau dann eine Untergruppe von G ist, wenn U1 ⊆ U2 oder U2 ⊆ U1 gilt.

Die Hinrichtung ist ja noch ziemlich einleuchtend das das stimmt, denn wenn U1 ⊆ U2 (oder anders rum) ist dann ist die Vereinigung der beiden Mengen ja automatisch U2 (bzw U1). Aber ich verstehe leider nicht wie man die Rückrichtung beweisen soll.

 

Kann mir jemand helfen?

 

gefragt vor 10 Monate
h
hilhil,
Student, Punkte: 16
 

Welche Axiome musst du denn zeigen, damit etwas eine Untergruppe ist?

  -   ikeek, verified kommentiert vor 10 Monate

Abgeschlossenheit, neutrales und inverses Element

  -   hilhil, kommentiert vor 10 Monate
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1 Antwort
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Hallo,

ich würde nun zeigen, dass es für alle anderen Untergruppen nicht gilt. 

Wir setzen also \( U_1 \nsubseteq U_2 \land U_2 \nsubseteq U_1 \).

Wenn das gilt, dann gibt es mindestens ein Element in \( U_1 \) das nicht in \( U_2 \) ist und umgekehrt. 

\( \exists a \in U_1 \land a \notin U_2 \\ \exists b \in U_2 \land b \notin U_1 \)

Nun gilt dann aber \( a,b \in U_1 \cup U_2 \). 

Kannst du daraus weiter schlussfolgern, dass \( U_1 \cup U_2 \) keine Untergruppe sein kann?

Grüße Christian

geantwortet vor 10 Monate
christian_strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 18.92K
 

Oh das ist gut! Vielen Dank!

  -   hilhil, kommentiert vor 10 Monate

Gerne :)


Wenn du die ganze Lösung hast kann ich gerne nochmal drüber schauen.


Grüße Christian

  -   christian_strack, verified kommentiert vor 10 Monate

 


 


Ich habe mich mal probiert es aufzuschreiben. Geht das deiner Meinung nach so?


 


Sei U1 U2, dann gilt U1 ∪ U2 ist eine Untergruppe


Da U1 Untergruppe ist gibt es ein n.E. e ∈ U1 welches somit auch in U1 U2 ist.


Da U1 eine Untergruppe ist existiert zu jedem Element a U1 U2, ein a^-1 U1 U2.


Da U1 eine Untergruppe ist gilt für a.b U1 ∪ U2, a*b U1 U2.


Analog für U2 ⊆U1.


 


Sei  U1 ∪ U2 Untergruppe, wenn U1 ⊆ U2 oder U2 ⊆ U1


Beweis durch Widerspruch:


 xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>U</mi><mn>1</mn></msub><mo>&#x2288;</mo><msub><mi>U</mi><mn>2</mn></msub><mo>&#x2227;</mo><msub><mi>U</mi><mn>2</mn></msub><mo>&#x2288;</mo><msub><mi>U</mi><mn>1</mn></msub></math>">U1⊈U2∧U2⊈U1.


xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">&#x2203;</mi><mi>a</mi><mo>&#x2208;</mo><msub><mi>U</mi><mn>1</mn></msub><mo>&#x2227;</mo><mi>a</mi><mo>&#x2209;</mo><msub><mi>U</mi><mn>2</mn></msub><mspace linebreak="newline" /><mi mathvariant="normal">&#x2203;</mi><mi>b</mi><mo>&#x2208;</mo><msub><mi>U</mi><mn>2</mn></msub><mo>&#x2227;</mo><mi>b</mi><mo>&#x2209;</mo><msub><mi>U</mi><mn>1</mn></msub></math>">


xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">&#x2203;</mi><mi>a</mi><mo>&#x2208;</mo><msub><mi>U</mi><mn>1</mn></msub><mo>&#x2227;</mo><mi>a</mi><mo>&#x2209;</mo><msub><mi>U</mi><mn>2</mn></msub><mspace linebreak="newline" /><mi mathvariant="normal">&#x2203;</mi><mi>b</mi><mo>&#x2208;</mo><msub><mi>U</mi><mn>2</mn></msub><mo>&#x2227;</mo><mi>b</mi><mo>&#x2209;</mo><msub><mi>U</mi><mn>1</mn></msub></math>">∃a∈U1∧a∉U2∃b∈U2∧b∉U1


Nun gilt  aber xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>&#x2208;</mo><msub><mi>U</mi><mn>1</mn></msub><mo>&#x222A;</mo><msub><mi>U</mi><mn>2</mn></msub></math>">a,b∈U1∪U2.  


Daher ist die Abgeschlossenheit nicht gegeben. Und somit gilt dann:


xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>&#x2208;</mo><msub><mi>U</mi><mn>1</mn></msub><mo>&#x222A;</mo><msub><mi>U</mi><mn>2</mn></msub></math>">a,b∈U1∪U2


ist eine Untergruppe, genau dann wenn, U1 ⊆ U2 oder U2 ⊆ U1.


 


 

  -   hilhil, kommentiert vor 10 Monate

Beim ersten Fall reicht es wenn du sagst, 


da \( U_1 \subseteq U_2 \Rightarrow U_1 \cup U_2 = U_2 \) und die Voraussetzung war ja das \( U_2 \) eine Untergruppe ist. Analog \( U_2 \subseteq U_1 \Rightarrow U_1 \cup U_2 = U_1 \)


Beim zweiten Fall denkst du schon mal in die richtige Richtung. Aber warum ist die Abgeschlossenheit nicht gegeben? Das musst du jetzt noch zeigen.


Du willst also zeigen, dass \( a \circ b \notin U_1 \cup U_2 \) gilt.


Was müsste den gelten, damit \( a \circ b \in U_1 \cup U_2 \) gilt?


Grüße Christian

  -   christian_strack, verified kommentiert vor 10 Monate

Als Tipp, sieh \( a \circ b = c \) als ein Element an. Wo muss \( c \in U_1 \cup U_2 \) noch drin sein, damit \( c \) in \( U_1 \cup U_2 \) überhaupt sein kann. 


Grüße Christian

  -   christian_strack, verified kommentiert vor 10 Monate
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