Ja du hast recht, man hat da einen "Notationsmissbrauch". Also wenn $X:\Omega \rightarrow M$ eine Zuvallsvariabel ist wobei $M$ eine beliebige Menge ist (bei dir ist $M=\Bbb{R}$), dann spricht man immer von z.B. $$\Bbb{P}(X\in A)$$ wobei $A\subset M$, dann gilt $$\Bbb{P}(X\in A):=\Bbb{P}(\{\omega \in \Omega|X(\omega)\in A)=\Bbb{P}(X^{-1}(A))$$.
Deine Aussage folgt nun wenn du $A=\{xm\}$ und dann analog die gleichen Schritte machst wie ich oben einfach mit $\leq$ anstatt $\in$.
Das ist wiso man das so schreibt, es ist ein wenig einfacher. Eigentlich kann man aber $\Bbb{P}(X\in A)$ auch sehen als funktion $$P_X:P(M)\rightarrow [0,1]$$ wobei $P_X(A)=\Bbb{P}(X\in A)$, aber das ist genau ein Bildmass auf unserer Menge $M$. Also mit dieser Funktion konnten wir das Mass $\Bbb{P}$ auf $\Omega$ zu einem Mass auf $M$ transportieren.
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