Homomorphiesatz

Aufrufe: 1166     Aktiv: 23.03.2019 um 11:50
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Ich habe eine Frage zum Homomorphiesatz. In unserem Skript wird dieser wie folgt definiert:

Seien V ein K-Vektorraum und U,W Untervektorräume von V. Dann sind (U+W)/W und U/\((U \cap W)\) isomorphe Vektorräume ( / steht hier für modulo).

Im Internet finde ich unter Homomorphiesatz, dass wenn A: V nach W eine lin. Abbildung ist, V/Ker(A) und Im(A) isomorphe Vektorräume sind. Das versteh ich auch ganz gut warum das so ist, allerdings kann ich mit der Def. meines Professors nicht viel anfangen.

Besteht zwischen den beiden Sätzen ein enger Zusammenhang? Bzw. wie kann ich mir bildlich vorstellen, was der erste Satz aussagt?

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Hallo lukram,

wenn du die Formulierung aus dem Internet verstanden hast, fehlt nicht mehr viel die Analogie zu der deines Professors zu finden.

Sei \( \varphi \) eine Abbildung mit \( \varphi: U \rightarrow (U + W)/W  \rightarrow U + W  \).

Da ja \( \varphi(x) = 0 \), ist auch \( x \in W \) und damit gilt \( ker \varphi = U \cap W \).
Außerdem ist \( \varphi \) surjektiv, da \( \varphi( u ) = u + W, u \in U \)

Somit gilt \( (U + W)/W = im( \varphi ) \simeq U/ker( \varphi ) = U/(U \cap W) \) (Vergleiche Formulierung aus dem Internet)

Und damit sind \( (U + W)/W \) und \( U/(U \cap W) \) isomorph.

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