Hallo,

wenn das Minimalpolynom in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt, kann man sofort auf Diagonalisierbarkeit schließen. Wenn das Minimalpolynom komplett in Linearfaktoren zerfällt, diese aber nicht paarweise verschieden sind, so ist die Matrix nicht diagonalisierbar, sonder nur trigonalisierbar. 

Als Beispiel, die Matrix

\( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)

hat als Minimalpolynom \( m(\lambda) = \lambda^2 \), zerfällt also über beispielsweise \( \mathbb{R} \) in Linearfaktoren, aber ist nicht diagonalisierbar.

Das Minimalpolynom beinhaltet alle Eigenwerte, muss aber nicht die selben algebraische Vielfachheit haben wie im charakteristischen Polynom. 

Das Minimalpolynom ist das normierte Polynom niedrigsten Grades, für das noch gilt \( m(A) =0 \).

In Bezug auf die Trigonalisierbarkeit ist die Vielfachheit einer Nullstelle im Minimalpolynom die Länge der längsten Hauptvektorenkette zu diesem Eigenwert. Somit kann man sich leicht vorstellen, dass wenn diese Vielfachheit nicht 1 ist, dann erzeugen wir natürlich auch keine Diagonalmatrix.

Grüße Christian

Ja, wenn das Minimalpolynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt ist die Matrix diagbar.