Hallo,

\( r = \frac {S_{xy}} {\sqrt{S_{xx}S_{yy}}} \ , m_x = \frac {S_{xy}} {S_{xx}} \ , m_y = \frac {S_{xy}} {S_{yy}} \\ \Rightarrow m_{x} \cdot m_{y} =  \frac {S_{xy}} {S_{xx}} \cdot \frac {S_{xy}} {S_{yy}} = \frac {S_{xy}^2} {S_{xx}S_{yy}} = \left( \frac {S_{xy}} {\sqrt{S_{xx}S_{yy}}} \right) ^2 = r^2 \)

Allerdings hat das Daniel genau so in seinem Video, deshalb bin ich mir nicht sicher, ob das wirklich deine Frage war. Wenn nicht melde dich nochmal

Grüße Christian

Danke schonmal für die ersten Erläuterungen.

Es gibt für mich noch zwei Unklarheiten:

1. Bei der Umstellung der Geradengleichung frage ich mich, woher das c kommt.

2. Das Bestimmtheitsmaß ist ja das r^2, der Korrelationskoeffizient das r. Nun heißt es aber, dass sich der Korrelationskoeffizient aus dem Produkt der Geradensteigungen ermitteln lässt und nicht das Bestimmheitsmaß?

A.

Die ganze Geschichte mit den zwei Steigungen finde ich ziemlich kryptisch. Ich würde \(r^2\) etwas anders betracheten, nämlich als Verhältnis der erklärten Varianz zur Gesamtvarianz. [1]

Der beste Schätzwert für den Wert der abhängigen Variablen \(y\) an der Stelle \(x_i\) auf der Grundlage ihrer eigenen Verteilung ist ihr Mittelwert (\(\bar{y}\)).

Der beste Schätzwert für den Wert der abhängigen Variablen \(y\) an der Stelle \(x_i\) unter Berücksichtigung der unabhängigen Variablen \(x\) ist der y-Wert des Punktes auf der Regressionsgeraden, der sich an der Stelle der Stelle \(x_i\) befindet. Die Beziehung zwischen der Gesamtabweichung, der nicht erklärten Abweichung und der erklärten Abweichung des Punktes \(P(x_i|y_i)\) ist aus dem folgenden Diagamm zu ersehen:

Quelle: Benninghaus 1989:210

Für den y-Wert des Punktes \(P(x_i|y_i)\) gilt also, dass sich die Gesamtabweichung dieses y-Werts aus der Summe der erklärten und der nicht erklärten Abweichung ergibt. Das heißt, es gilt Gleichung (1):

$$\left(y_{i}-\bar{y}\right)=\left(y'_{i}-\bar{y}\right)+\left(y_{i}-y'_{i}\right) \tag{1}$$

Über eine Umformung, bei der die erste binomische Formel [2] eine Rolle spielt, lässt sich zeigen, dass auch der folgende Zusammenhang gilt:

$$\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)=\sum_{i=1}^{n}\left(y'_{i}-\bar{y}\right)+\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-y'_{i}\right) \tag{2}$$

Das heißt, dass sich auch die Gesamtvariation aus der Summe der erklärten und der nicht erklärten Variation zusammensetzt. \(r^2\) ist jetzt definiert als das Verhältnis der erklärten Variation zur Gesamtvariation bzw., wenn alle drei Ausdrücke noch einmal durch die Fallzahl geteilt werden, der erklärten Varianz zur Gesamtvarianz.

B.

Die Formel zur Berechnung von Pearsons r (das ist der Korrelationskoeffizient) kann auch so geschrieben werden:

$$r=\frac{\mathrm{cov}(x,y)}{s_{x}\cdot s_{y}} \tag{3}$$

Dabei ist \(\mathrm{cov}(x,y)\) die Kovarianz von x und y. \(s_x\) und \(s_y\) sind die Standardabweichungen von \(x\) und  \(y\). Diese drei Parameter können wie folgt berechnet werden:

$$\mathrm{cov}(x,y)=\frac{\sum\limits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\cdot\left(y_{1}-\bar{y}\right)}{n} \tag{4}$$

$$s_{x}=\sqrt{\frac{\sum\limits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{n}} \tag{5}$$

$$s_{y}=\sqrt{\frac{\sum\limits _{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}{n}} \tag{6}$$

Wie sich mit Papier und Bleistift nachvollziehen lässt, küzen sich die Fallzahlen weg, wenn die Formeln (4) bis (6) in die Formel (3) eingesetzt werden. Daraus ergibt sich dann Formel (7):

$$r=\frac{\sum\limits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\cdot\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum\limits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}\cdot\sum\limits _{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}} \tag{7}$$

Das ist, wie sich leicht fesstellen lässt, numerisch identisch mit der Formel, die Daniel Jung in seinem Video vorgestellt hat.


[1]
Das heißt Varianzaufklärung. Eine Anmerkung dazu: Die Varianz ist die Summe der Abweichungsquadrate geteilt durch die Fallzahl. Die Summe der Abweichungsquadrate wird auch Variation genannt. Wenn die erklärte Varianz durch die Gsamtvarianz geteilt wird, kürzt sich die Fallzahl weg. Was übrig bleibt ist die erklärte Variation geteilt durch die Gesamtvariation.

[2]
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

Siehe dazu auch Benninghaus 1989:211


Literatur

Benninghaus, Hans, (6)1989: Statistik für Soziologen 1. Deskriptive Statistik. (= Teubner Studienskripten 22, Studienskripten zur Soziologie) Stuttgart: Teubner