Letzten Schritte der Hauptachsentransformation


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Hallo , ich bin grad dabei für meinen 2. Versuch in höhere Mathematik zu lernen . Aktuell hab ich Probleme die letzten Schritte einer Hauptachsentransformation zu lösen . Ich komme immer ungefähr bis zum Schritt , wo ich meine Drehmatrix aufstelle . Nur dann hab ich oft Probleme den richtigen Drehwinkel zu bestimmen sowie , die Art der Kurve zu bestimmen .

Die Aufgabe lautet :

-x₁+2√3x₁x₂+x₂=2  

Führen sie eine Hauptachsentransformation durch, um die Kurve zu bestimmen. Geben sie Drehmatrix S, den Drehwinkel , die transformierte Gleichung und die Art der Kurve an .

Meine Drehmatrix wäre :

Soweit so gut , nur dann ist mein 1. Problem der Drehwinkel , es müsste ja cos(1/2) sein und sin(\sqrt{3}  / 2) sein . Nur wie bestimme ich jetzt den endgültigen Winkel ... vorallem ohne Taschenrechner...

Und wie bestimme ich jetzt die Form mit Hilfe der Drehmatrix ?

 

Würde über detailierte Hilfestellungen freuen.

 

 

 

gefragt vor 8 Monate, 2 Wochen
k
kihihue,
Student, Punkte: 10
 
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1 Antwort
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Hallo,

nein den Drehwinkel bestimmst du über \( \cos^{-1}(\frac 1 2) \) oder \( \sin^{-1}(\frac {\sqrt{3}} 2) \) 

Der Winkel ist also \( \varphi = \frac {\pi} 3 \)

Für die neue Darstellung der Quadrik gilt nun

\( \vec{x}^T A \vec{x} + c \Rightarrow \vec{u}^T A' \vec{u} +c \)

wobei \( \vec{u} \) der Vektor mit unseren transformierten Koordinaten ist und \( A' \) unsere Matrix in Diagonalgestalt.

Es gilt also 

\( \lambda_1  u_1 ^2+ \lambda_2  u_2 ^2 + c \)

Die Transformation der einzelnen Koordinaten kannst du bestimmen über

\( \vec{u} = S^T \vec{x} \)

Dein Endresultat ist also

\( -2u_1^2 +2u_2^2 -2 =0 \)

Edit: Ich sehe gerade, das du als Gleichung

\( -x_1 + 2\sqrt{3}x_1 x_2 + x_2 =2 \)

geschrieben hast. Hast du das Quadrat vergessen oder soll dort keins sein? Wenn nicht wäre deine Drehmatrix falsch.

Grüße Christian 

geantwortet vor 8 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
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