Partielle Integration von Sinus


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Hallo,

ich soll das unbestimmte Integral:

 I = sin ^{3} x dx

durch partielle Integration berechnen.

Wenn jemand einen nachvollziehbaren Rechenweg posten könnte, wäre das super.

Dankeschön (:

 

gefragt vor 8 Monate
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l22,
Student, Punkte: 35
 
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1 Antwort
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Hallo,

ein guter erster Schritt ist es, die trig. Identität \(\sin^2(x)=\dfrac{1}{2}(1-\cos(2x))\) anzuwenden.

Es ergibt sich \(\dfrac{1}{2}\displaystyle\int x\sin(x)(1-\cos(2x))\, dx\).

Durch erweitern von \(x\sin(x)(1-\cos(2x))\) zu \(x\sin(x)-x\sin(x)\cos(2x)\) erhalten wir

\(\dfrac{1}{2}\displaystyle\int (x\sin(x)-x\sin(x)\cos(2x))\, dx = -\dfrac{1}{2}\displaystyle\int x\sin(x)\cos(2x)\, dx + \dfrac{1}{2}\displaystyle\int x \sin(x)\, dx\)

Ferner können wir den Integrand des ersten Teilintegral umschreiben zu \(-\dfrac{1}{4}\displaystyle\int x(\sin(3x)-\sin(x))\, dx\)


Kommst du ab hier weiter?

geantwortet vor 8 Monate
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14.65K
 

Vielen Dank schon mal dafür 


der ist Anfang und das Erweitern sind jetzt klar (:


Woher kommt das x vor sin(x) in deinem ersten Integral? Ist das eine fixe Formel?


Und wie genau kann ich das erste Teilintegral so umschreiben, dass -1/4 etc... rauskommt? 


Wäre lieb wenn du es gar vorrechnen und dabei erklären könntest (:

  -   l22, kommentiert vor 8 Monate

"Woher kommt das x vor sin(x) in deinem ersten Integral? Ist das eine fixe Formel?"


In der ersten Zeile wird \(\sin^2(x)\) umgeschrieben. Dein Integrand lautet aber \(\sin^3(x) \cdot x\). Also bleiben \(x\sin^1(x)\) übrig. 



"Und wie genau kann ich das erste Teilintegral so umschreiben, dass -1/4 etc... rauskommt?"


Wieder eine trig. Identität. \(\sin(\alpha)\cos(\beta)=\dfrac{1}{2}(\sin(\alpha - \beta)+\sin(\alpha + \beta)\) mit \(\alpha=x,\: \beta=2x\). Und \(-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}\) 


 


Den Integrand in der letzten Zeile ausmultiplizieren: \(-\dfrac{1}{4}\displaystyle\int (x\sin(3x)-x\sin(x))\, dx\)  (nicht das zweite Teilintegral vergessen!)


Dieses 1. Teilintegral ließe sich nochmals aufteilen, der "zweite" Teil (\(-x\sin(x)\)) steht, bis auf das Minus, so im zweiten Teilintegral. Wenn wir ihn darein ziehen, und den Vorfaktor \(-\dfrac{1}{4}\) mit dem Vorzeichen (\(-1\)) multiplizieren und zu dem Vorfaktor des 2. Teilintegrals addieren, erhalten wir


 \(-\dfrac{1}{4}\displaystyle\int x\sin(3x)\, dx + \dfrac{3}{4}\displaystyle\int x\sin(x)\, dx\)


Ab jetzt kannst du partiell integrieren.

  -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 8 Monate
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