Abstandsproblem (Analytische Geometrie)

Aufrufe: 97     Aktiv: vor 1 Jahr, 1 Monat

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  • Aufgabe (aus Lambacher Schweizer Qualifikationsphase): Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes A(3|a2|0) so, dass A den Abstand 5 von der Ebene E: 2*x1+ x2 - 2*x3= 4 hat.

 

Bin gerade mitten in meiner Abivorbereitung und hänge an dieser Aufgabe.

Grundsätzlich ist mir das Vorgehen auch weitestgehend klar.

Gerade aus Normalenvektor und Punkt aufstellen, dann die Terme der Geraden in Ebene auflösen und den Wert des Parameter ermittelt etc. Nur der Parameter stört mich.

Lösung wäre (3|13|0) und (3|-17|0) nur wie komme ich da drauf?

Wäre euch sehr zu dank verbunden wenn ihr mir helfen könntet.

 

gefragt vor 1 Jahr, 1 Monat
t
tiak17,
Schüler, Punkte: 10
 
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1 Antwort
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Hallo,

da die Ebene in Koordinatenform gegeben ist, würde ich die Abstandsformel \(d(P;E)=\dfrac{|n_1p_1+n_2p_2+n_3p_3-d|}{|\vec{n}|}\) mit \(P(p_1|p_2|p_3)\) und \(E: n_1x+n_2y+n_3z-d=0\)

benutzen.

\(d(A;E)=\dfrac{|2\cdot 3+2a-2\cdot 0-4|}{\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}}=5 \;\therefore a_1=\dfrac{13}{2},\: a_2=-\dfrac{17}{2}\)

 

Weg mit Lotfußpunkt:

Gerade aufstellen, die mit P inzidiert:

\(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}3\\ 2a\\ 0\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}2\\ 1\\ -2\end{pmatrix}\)

Schnittpunkt zwischen E und g berechnen:

\(2(3+2\lambda)+(2a+\lambda)-2(-2\lambda)=4 \Leftrightarrow \lambda=-\dfrac{2a}{9}-\dfrac{2}{9}\)

Parameterwert in g einsetzen:

\(\vec{a}=\begin{pmatrix}3\\ 2a\\ 0\end{pmatrix} - \left (\dfrac{2a}{9}-\dfrac{2}{9}\right )\begin{pmatrix}2\\ 1\\ -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{23-4a}{9}\\\frac{16a-2}{9}\\ \frac{4a+4}{9}\end{pmatrix}\)

Abstand zwischen dem "Punkt" und P berechnen:

\(d(A,P)=\sqrt{\left(\dfrac{23-4a}{9}-3\right)^2+\left(\dfrac{16a-2}{9}-2a\right)^2+\left(\dfrac{4a+4}{9}\right)^2}=\dfrac{2|a+1|}{3}\)

Alternativ direkt mit 5 gleichsetzen. 

Es resultieren in beiden Fällen die selben Ergebnisse.

geantwortet vor 1 Jahr, 1 Monat
m
maccheroni_konstante verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 16.44K
 

Hey, das ist diese Hesse'sche Normalenform richtig?
Im Unterricht haben wir leider nie gehabt.
Soweit ich das in Erinnerung habe, haben wir immer eine längere Methode verwendet über den lotfußpunkt oder über orthogonalität.
Aber gut zu wissen. Geht ja offenbar deutlich schneller, als das was wir im Unterricht gemacht haben.
Danke.
  -   tiak17, vor 1 Jahr, 1 Monat

Genau, das ist die Hess. Normalenform in Koordinatenform.Ja, mit dem Lotfußpunktverfahren würde es auch gehen, ist nur aufwendiger. Wenn du aber willst, kann ich diesen Lösungsweg auch noch erläutern.   -   maccheroni_konstante, verified vor 1 Jahr, 1 Monat

Wäre super.   -   tiak17, vor 1 Jahr, 1 Monat

Habe meine Antwort ergänzt.   -   maccheroni_konstante, verified vor 1 Jahr, 1 Monat

Ah Moment, mir fällt gerade auf, dass a2 eher als unbekannter Parameter im Vektor stehen soll statt 2*a .Ich hab es selbst erst gerade realisiert.Das heißt du müsstest a2 als Unbekannte y betrachten und dann berechnen für welche y Werte der Abstand gleich 5 LE ist.Tut mir leid, dass es etwas missverständlich ist, ich bin neu hier und hab die Formeleingabe noch nicht so ganz verstanden.
Trotzdem schonmal ein großes Danke für die bisherige Hilfe
  -   tiak17, vor 1 Jahr, 1 Monat

Du meinst \(a_2\)?   -   maccheroni_konstante, verified vor 1 Jahr, 1 Monat

Exakt.   -   tiak17, vor 1 Jahr, 1 Monat
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