Beweis das ein Inverses in Körper existiert


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Hallo,

Ich denke der Beweis für die Aufgabe ist nicht so schwer, ich stehe aber etwas auf dem Schlauch.

K ist eine endliche Menge mit Verknüpfungen "+" und " \( \cdot \) ". Angenommen K ist ein kommutativer Ring mit \(1 \ne 0 \) in dem gilt: für alle \(a,b \in K \setminus {0} \) folgt \(ab \in K \setminus {0} \). Zeigen Sie das K ein Körper ist.

Nun ist unsere Definition eines Körpers, dass das ein kommutativer Ring ist, in dem \(1 \ne 0 \) gilt und in dem für jedes Element \( a \ne 0 \) ein multiplikativ Inverses existiert. Also muss ich im Beweis lediglich zeigen dass ein Inverses existiert. Ich tue mich aber schwer daran das mit der Abgeschlossenheit der Multiplikation zu begründen, da ich bei meinen bisherigen Ansätzen immer vorraussetzen musste dass so ein Inverses existiert, was natürlich keine Beweiskraft hat.

Für einen Schubs in die richtige Richtung wäre ich sehr dankbar,

Grüße Ultor

 

gefragt vor 7 Monate, 3 Wochen
u
ultor,
Student, Punkte: 80
 
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1 Antwort
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Hallo,

ich muss ehrlich zugeben so ganz sicher bin ich mir gerade auch nicht. Aber versuchen wir es mal zusammen. 

Die Invertierbarkeit kann nicht nur aus der Abgeschlossenheit folgen. Der Schlüssel liegt denke ich darin, das wir eine endliche Menge haben. Dadurch hat unser Ring eine Charakteristik \( p \neq 0 \).

Nun gilt dadurch \( \sum_i^p 1 = 0 \) und \( \sum_i^{p+1} 1 = 1 \).

Jetzt müssen wir aus \( \sum_i^{p+1} 1 \) ein Produkt erzeugen. 

Ich weiß nicht was ihr eventuell für Sätze in letzter Zeit besprochen habt die dabei vielleicht helfen könnten?

Was meinst du erstmal zu dieser Grundidee?

Grüße Christian

 

geantwortet vor 7 Monate, 3 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 17.7K
 

Charakteristik ist ein Begriff der bei uns noch nicht eingeführt wurde. Aber ich glaube an sich verstehe ich die Idee.
\( \sum_{i=1}^{p+1}1=(p+1)\cdot 1 = 1 \)
Also ist schonmal klar dass \( (p+1) \in K\setminus{{0}} \) und \( 1 \in K\setminus{{0}} \). Also ist das Inverse zu 1 (p+1). Jetzt fehlt dann ja quasi nur noch der Nachweis dass zu jedem Element von K ein Inverses existiert und nicht nur zu 1.

Ein Satz den ich grade gefunden habe der helfen könnte ist:
Sei \( [0] \ne [a] \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \). [a] besitzt genau dann ein Inverses wenn ein \(b \in \mathbb{Z} \) existiert mit der Eigenschaft dass n die Zahl ab-1 teilt.

Aber ich häng da etwas fest. Komm mit endlichen Körpern generell nicht ganz so gut klar im Moment. :)
  -   ultor, kommentiert vor 7 Monate, 3 Wochen

Dieser Satz könnte doch schon die Lösung sein. Da die Multiplikation abgeschlossen ist ist die Zahl \( ab \) in unserem Ring. Dann muss man zeigen, dass auch \( ab-1 \) in dem Ring ist.
Wenn wir jetzt \( a = n \cdot t + u \ , \ b= n \cdot s + v \) setzt, und \( ab-1 \) ausrechnet, hat man wegen der Abgeschlossenheit wieder nur Elemente in dem Ring und einen Rest-1.
Dies müsste doch dann auch im Ring sein.

Tut mir Leid das es so lange gedauert hat. War gestern leider viel unterwegs.
  -   christian strack, verified kommentiert vor 7 Monate, 2 Wochen
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