Niveaulinien quadratischer Formen skizzieren

Aufrufe: 1792     Aktiv: 26.04.2019 um 21:09
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Guten Abend miteinander

Ich habe bei dieser Aufgabe ein Problem : 

Mir ist es grundsätzlich klar was ich machen muss. Ich muss einfach die Funktion mit den verschiedenen c's gleichsetzen und dann schauen wie sich der Graph entsprechend der x - und y - Achse verhält nur weiss ich nicht wie ich die Funktionen so vereinfachen kann, damit ich die Gleichung für z.B c = -1 so umstellen kann, sodass der Verlauf vom Graphen besser ersichtlich wird.

Hoffentlich versteht ihr was ich meine :)

 

Ich bin froh über jede Hilfe

 

LG Wizz

 

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Student, Punkte: 282

 
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Hallo,

habt ihr euch schon mit der Hauptachsentransformation beschäftigt? Dadurch verschwinden die gemischten Terme und es ist schneller ersichtlich was für eine Form vorliegt. 

Ansonsten würde ich es mir mal von einem Programm zeichnen lassen.

Grüße Christian

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Hallo

Ja das haben wir schon durchgenommen aber leider nicht wirklich detailliert und halt wenige Beispiele auf solche Aufgaben bezogen. Ich habe das jetzt noch hochgeladen was ich bisher machen konnte mit meinem Wissen.
Jetzt weiss ich aber nicht wie ich den Graphen in Abhängigkeit von c skizzieren kann. Könntest du mir da noch Tipps geben?Mit den Eigenvektoren habe ich ja das "neue Koordinatensystem" und muss nun entsprechend die Punkte dort abtragen.

Auf Wikipedia konnte ich mich auch bereits ein wenig schlauer machen aber ich es wird auch leider dort nicht so richtig gezeigt wie man das jetzt auch skizziert schlussendlich.

LG Wizz
  ─   wizzlah 27.04.2019 um 14:13
Die Form die man hinterher erhält ist die Normalenform der Quadrik. Je nachdem welche Gestalt die Gleichung dann hat, weißt du was für eine Form vorliegt.
Ich finde es hier sehr schön beschrieben.
https://www.mathebibel.de/hauptachsentransformation
Wenn du nicht weiter kommst melde dich nochmal :)

Grüße Christian   ─   christian_strack 27.04.2019 um 17:29
Also ich habe mir da ganze jetzt durchgelesen und wenn ich das richtig verstanden habe sollte ich das so weit rechnen bis ich die nicht quadratischen Terme eliminieren kann, sodass ich dann einfacher die Werte für die entsprechenden Niveaumengen berechnen kann.
Wie sieht das ganze aber grafisch aus und wie ist das gemeint in dieser Aufgabe? Sind hier die Höhenlinien gemeint? Ich würde ja dann einfach wenn ich beispielsweise eine Ellipse hätte der Form (x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1 die "1" mit den entsprechenden c's ersetzen ist das korrekt?

LG Wizz   ─   wizzlah 28.04.2019 um 13:04

Und wenn ich ja die Transformation durchführe, dann rückt der entsprechende Graph ja ins Zentrum, weil ja die verschiedenen Terme eliminiert werden.Wenn ich dann die Niveaumenge bestimme muss ich das dann zusätzlich beachten?Ich habe meine weiteren Schritte noch in meiner Frage oben hinzugefügt

Edit: Ich habe noch den Graphen von der zweiten Teilaufgabe hinzugefügt. Ich denke aber nicht, dass dieser korrekt ist ich habe das so gemacht wie es in einem YT Video gezeigt wurde.
   ─   wizzlah 28.04.2019 um 17:34
Die Diagonalmatrix ist richtig. Ja genau, da der konstante Part übernommen wird, kannst du jetzt diesen Term mit den einzusetzenden Werten gleichsetzen.
Die Graphen stimmen aber nicht. Du hast hier eine Ellipse vorliegen. Die allgemeine Form ist
\( \frac {x^2} {a^2} + \frac {y^2} {b^2} = 1 \)
du musst also deine Form noch durch c teilen.
a ist die Länge vom Mittelpunkt zum Punkt auf der Ellipse der auch auf der x-Achse liegt. Hingegen ist b die Länge bis zum Punkt auf der Ellipse und y-Achse.   ─   christian_strack 29.04.2019 um 18:51
Der 3D Plot hilft dir auch nicht weiter, da die Niveaulinien zweidimensional sind.
https://www.geogebra.org/graphing stellt sowas schön da.   ─   christian_strack 29.04.2019 um 18:54
Vielen Dank! :D   ─   wizzlah 30.04.2019 um 18:13

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