Definitheit beweisen mit reeller (2x2)-Matrix


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Hallo

Ich habe beim beweis für die Teilaufgabe a versucht jegliche Definitionen erstmal hinzuschreiben und zu verwenden. Bei meinem Resultat bin ich mir aber nicht sicher, da ich ja nicht gezeigt habe, dass die Determinante von A < 0 ist.

Und auch mit meinem Beweis mit den Eigenwerten bin ich mir nicht ganz sicher. Was ist denn, wenn b = 0 ist, denn es ist ja eine reelle Matrix, deshalb darf ja auch die 0 angenommen werden für b, weil sie dadurch ja immer noch symmetrisch ist.

Kann ich bei der Teilaufgabe (b) gleich vorgehen?

Lieben Dank 

 

LG

 

Wizz

 

Edit : 

 

gefragt vor 7 Monate, 2 Wochen
w
wizzlah,
Student, Punkte: 226
 
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1 Antwort
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Hallo,

die Idee dahinter ist richtig. Ich will das was du gesagt hast mal etwas anders zusammenfassen.

Da \( A \) eine symmetrische Matrix ist, ist sie diagonalisierbar. Also existiert eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Hauptdiagonalen. 

Die Determinante und die Spur ähnlicher Matrizen sind immer die selben.

Also kannst du die Determinante und die Spur der Diagonalmatrix betrachten. 

Nun können wir das ganze einfacher beschreiben.

Betrachten wir nun die a). Du hast schon richtig gesagt, das es einen negativen und einen positiven Eigenwert geben muss für Indefinitheit. Da wir aber nur zwei haben und die Determinante das Produkt der Eigenwerte ist, muss die Determinante automatisch negativ sein.

Wie sieht es nun mit der b) und c) aus?

Grüße Christian

geantwortet vor 7 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 17.69K
 

Hallo Christian

Vielen Dank, der erste Beweis ist mir nun 100% klar.

Beim zweiten Beweis geht es bei mir auch mit deinen zusätzlichen Tipps nicht wirklich voran. Ich versuche ja wie bei der ersten Teilaufgabe sämtliche Definitionen zu verwenden. Ich sehe aber nicht wie ich zeigen kann, dass die Spur > 0 ist.
Im Internet habe ich was mit gelesen, dass die quadratische Ergänzung helfen kann, aber ich sehe es nicht wo ich diese verwenden kann.

Ich habe versucht mit der quadratischen Form einen Term aufzustellen, welcher sich evtl. so vereinfach lässt, dass genau das ersichtlich wird.

Aber wie du (in der Frage) siehst komme ich ja leider nicht drauf. Hast du mir vielleicht noch einen zusätzlichen Tipp?

Vielen Dank

LG
Wizz
  -   wizzlah, kommentiert vor 7 Monate, 2 Wochen

Du hast bei der Spur die Determinante und bei der Determinanten die Spur hingeschrieben.

Verstehe ich das bei der b) richtig, das alles vom ersten Äquivalenz zeichen rechts steht eine Aussage ist.
Dann müssen wir für den Hinweg erstmal die Implikation der 3 Aussagen zeigen.
Die erste kannst du wieder ähnlich führen wie bei der a). Auch bei der b) kannst du über die Diagonalmatrix argumentieren, denn wie gesagt auch die Spur bleibt bei ähnlichen Matrizen erhalten. Für die letzte Implikation, das \( a_{11} > 0 \) überlege ich mir gerade auch noch. Da fällt mir nur das Hauptminorenkriterium für Definitheit. Hattet ihr das? Dann wäre es simpel :p

DIe Rückrichtung ist leichter. Wir haben diese 3 Eigenschaften. Nutze zuerst die Determinante um zwei Fälle aufzubauen und zeige das nur einer davon sinnvoll ist und die Matrix so postiv definit sein muss.
  -   christian strack, verified kommentiert vor 7 Monate, 2 Wochen

Vielen Dank ich habe es nun verstanden. Ich muss natürlich aufpassen, dass ich nicht immer Sachen verwechsle. Ich habe nochmals nachgefragt und man soll es angeblich wirklich als Aussage verstehen.

LG
Wizz
  -   wizzlah, kommentiert vor 7 Monate, 2 Wochen

Ja ich habe mich hier auch sehr lange an der Art der Aufgabenstellung aufgehangen und war schon drauf und dran dir einige Gegenbeispiele einzutippen :p
War einfach nicht so schön formuliert.
  -   christian strack, verified kommentiert vor 7 Monate, 2 Wochen

Das erleb ich leider viel zu oft, auch bei anderen Übungsblättern in anderen Modulen :)). Aber irgendwie kommt man dann immer drauf was genau gemeint ist.
Einfach nicht aufgeben!
  -   wizzlah, kommentiert vor 7 Monate, 2 Wochen
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