Sandwich-Theorem


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Hallo,

Diese Aufgabe verstehe ich vom Sinn her nicht ganz. Ich bin der Meinung, dass es offensichtlich ist, dass diese Folgen gegen 0 streben. Wie genau soll das also aussehen? Einfach 0 <= an <= 1/n ?

Scheint mir etwas zu knapp und auch nicht Sinn der Aufgabe? Was muss ich also tun, um das Offensichtliche zu zeigen?

Viele Grüße!

 

gefragt vor 7 Monate, 1 Woche
t
tisterfrimster,
Student, Punkte: 208
 
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2 Antworten
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Hallo,

das Problem ist, dass durch das \( k^n \) die Folge \( \frac {k^n} {n!} \) nicht für jedes \( n \in \mathbb{N} \) kleiner ist als \( \frac 1 n \). 

Stell dir vor wir nehmen den Wert \( k=1000 \). 

Die Nullfolge \( (0)_{n \in \mathbb{N}} \) hab ich gar nicht in betracht gezogen, ist aber sehr clever :p

Wir brauchen also nur eine Folge die wirklich immer größer ist als beide.

Hab da aber gerade auch keine im Sinn. Muss nochmal überlegen. Meiner Meinung nach ist bei den Folgen das Sandwichlemma auch nicht die sinnvollste Wahl. 

Grüße Christian

geantwortet vor 7 Monate
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 17.27K
 


Wie wäre es, wenn ich sage, dass 0 <= k^n/n! <= k^n ist? Das müsste ja auf jeden Fall gelten, da eine Zahl durch etwas geteilt stets kleiner ist (k und n sind ja jeweils natürliche Zahlen) als die Zahl selbst. Dann könnte ich leicht auf beiden Seiten durch k^n teilen, sodass ich erhalte: 0 <= 1/n! <= 1. Dass das gegen 0 konvergiert, ist ja dann klar. Oder habe ich es mir da zu leicht gemacht ;) ?

Bei der (b) könnte man dann das gleiche mit n! auf der rechten Seite machen und erhält wieder einen Bruch, wo nur der Nenner wächst. Da das so einfach scheint, kann das doch eigentlich nicht die Lösung sein.
  -   tisterfrimster, kommentiert vor 7 Monate

Das Problem ist, das die beiden äußeren Folgen gegen den selben Grenzwert konvergieren müssen. \( k^n \)konvergiert nur für \( 0 \leq k < 1 \) gegen Null.

Bei der b) kommt das selbe Problem auf.

Wie gesagt man könnte das ganz einfach lösen, indem man zeigt das der Nenner jeweils schneller ansteigt als der Zähler, aber du musst ja das Theorem nutzen. :/

Mir fällt momentan leider keine Folge ein. Habe schon einige durchprobiert, aber es passt leider nicht. Ich überlege auf jeden Fall weiter.
  -   christian strack, verified kommentiert vor 7 Monate

Stimmt, das hatte ich vergessen. Wie wäre es als rechte Seite k^n/(n-1)! zu verwenden? Das ist auf jeden Fall größer, hat aber denselben Grenzwert 0. Ich könnte da auch durch k^n teilen, um es dann wie oben zu erhalten.
Dann könnte ich bei der (b) wieder das gleiche im Nenner machen. Scheint mir aber auch zu leicht und du wirst mir vermutlich den Haken an meinem Gedanken nennen können ;).
  -   tisterfrimster, kommentiert vor 7 Monate

Da wir den Grenzwert der Folge \( \frac {k^n} {n!} \) beweisen sollen, kennen wir vermutlich auch nicht den Grenzwert der Folge \( \frac {k^n} {(n-1)!} \) . Aber daran habe ich auch gedacht.
Prinzipiell kannst du das dadurch zeigen, dass der Nenner schneller steigt als der Zähler. Wir sollen ja nur den Grenzwert der gegebenen Folge durch das Sandwich Theorem zeigen.
Aber da ich dir die Übung leider nicht kontrolliere, weiß ich nicht ob du dafür dann alle Punkte bekommst.
  -   christian strack, verified kommentiert vor 7 Monate
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Heyho,

Ich hatte zu der Aufgabe folgende Idee:

a)

\( 0 \leq \frac{k^n}{n!} = \frac{k}{n} \frac{k}{n-1} \frac{k}{n-2} \cdots \frac{k}{2} \frac{k}{1} \leq \frac{k}{n} = k\cdot \frac{1}{n}\)

Wobei \( 0 \leq \frac{k}{n-1} \frac{k}{n-2} \cdots \frac{k}{2} \frac{k}{1} \leq 1\) für entsprechend große \( n \).

 

b)

\(0 \leq \frac{1}{2^n} \cdot \frac{n!}{k!(n-k)!} \leq \frac{1}{2^n} \cdot n! = \frac{n!}{2^n} \leq \frac{n!}{n^n} \)

Der Term ganz rechts konvergiert laut der Vorlesung gegen Null.

 

Ich bin mir aber nicht 100% sicher ob das stimmt.

Grüße Ultor

geantwortet vor 7 Monate
u
ultor,
Student, Punkte: 80
 
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