Differentialgleichung, Trennung der Variablen

Aufrufe: 146     Aktiv: vor 1 Jahr

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Ich habe folgende Aufgabe: 

Ich komme ab folgendem schritt nicht weiter. Kann mir einer helfen? 

 

gefragt vor 1 Jahr
m
maikgleich04,
Punkte: 10
 
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1 Antwort
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Du hast versucht die Variablen zu separieren? Achte darauf, dass hier eigentlich ein x dabeisteht und du nach x und y sortieren musst. Sollte also besser so aussehen:

 

\(yy' = 1-y^2\)

\(\frac{y}{1-y^2} y' = 1\)

Nun kannst du das \(y'\) umschreiben und integrieren. Beachte, dass links im Zähler (mehr oder weniger) die Ableitung des Nenners steht und du mit dem Logarithmus arbeiten kannst:

\(-\frac12\ln(1-y^2) = x + c\)

Das forme jetzt noch nach y um:

\(\ln(1-y^2) = -2x + c'\)

\(1-y^2 = e^{-2x+c'}\)

\(y^2 = 1-e^{-2x+c'}\)

Nun noch die Wurzel ziehen und fertig:

\(y_{1,2} = \pm\sqrt{1-e^{-2x+c'}}\)

bzw schöner mit den Potenzgesetzen:

\(y_{1,2} = \pm\sqrt{1-d\cdot e^{-2x}}\)

 

geantwortet vor 1 Jahr
o
orthando verified
Student, Punkte: 4.36K
 

Vielen Dank!   -   maikgleich04, vor 1 Jahr
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