Nullstellen Sinusfunktion

Erste Frage Aufrufe: 636     Aktiv: 07.05.2019 um 14:13
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Hi, wie berechne ich am besten die Nullstellen der Funktion f(x)=4sin(1/3x)+3 ? 

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Schüler, Punkte: 10

 
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Hallo,

zuerst ließe sich die Gleichung \(\sin\left (\dfrac{x}{3} \right ) =-3\) durch 4 dividieren.

\(\sin\left (\dfrac{x}{3} \right ) =-\dfrac{3}{4}\)

Allgemein lauten die Lösungen:
\(\sin(x)=a \Longrightarrow x=\arcsin(a)+2\pi n,\: x=\pi + \arcsin(-a)+2\pi n\) mit \(n\in \mathbb{Z}\).

Somit für unsere Gleichung:

\(\dfrac{x}{3}=\arcsin\left (-\dfrac{3}{4}\right)+2\pi n ,\: \dfrac{x}{3}=\pi+\arcsin\left (\dfrac{3}{4}\right )+2\pi n\)

Multiplizieren wir die Gleichungen noch jeweils mit 3, so erhalten wir für unser x:

\(x=3\left (\arcsin\left (-\dfrac{3}{4}\right)+2\pi n\right ),
\\x=3\left (\pi+\arcsin\left (\dfrac{3}{4}\right )+2\pi n \right )\)

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danke, ich verstehe nicht was das a und n ist?   ─   lukas1501 07.05.2019 um 14:33
\(a\) ist irgendeine reelle Zahl um den Lösungshergang zuerst allgemein darzustellen. In diesem Beispiel ist \(a=-\frac{3}{4}\)

Die Sinusfunktion verläuft periodisch, weswegen sie mit \(D_f=\mathbb{R}\) unendlich viele Nullstellen besitzt. Daher wäre eine Lösung bspw. \(x_1=3\left (\arcsin\left (-\dfrac{3}{4}\right)+2\pi \cdot 1\right ) \approx 16.305\), eine andere wäre \(x_2=3\left (\arcsin\left (-\dfrac{3}{4}\right)+2\pi \cdot 4\right ) \approx 72.854\). \(n\) ist ein Element der ganzen Zahlen.   ─   maccheroni_konstante 07.05.2019 um 17:14
Vielen Dank!   ─   lukas1501 07.05.2019 um 18:36
kann mir bitte noch jemand erklären was die 2 Pi bedeuten? In diesem verläuft doch der Sinus nicht 2 Pi periodisch sondern 6 Pi? Oder irre ich mich?   ─   lukas1501 08.05.2019 um 16:05
Der Vorfaktor des gesamten eingeklammerten Terms ist doch 3. -> 3*2 = 6.   ─   maccheroni_konstante 08.05.2019 um 17:07

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