Kann mir bitte jemand erklären, was ich im Induktionsschritt falsch mache?

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Hallo,

ich kann deinen letzten Abschnitt nicht ganz nachvollziehen. Was genau versuchst du damit zu zeigen?

Wieso gehst du von \( (1+ \frac 1 n) \cdot (1+\frac 1 {n-1})^n \) aus? 

Wofür hast du die Abschätzung mit der Bernoulli Ungleichung gemacht, wenn du sie später nicht mehr verwendest?

Was genau ist die Aufgabe? Musst du die Ungleichung per Induktion beweisen?

Ich würde an das Problem etwas anders heran gehen. 

\( (1 + \frac 1 {n-1} )^n >(1+ \frac 1 n )^{n+1} \\ \Rightarrow ( \frac n {n-1} )^n > (\frac {n+1} n )^{n+1} \\ \Rightarrow (\frac 1 {\frac {n+1} n}) \cdot \left( \frac {\frac n {n-1} } {\frac {n+1} n} \right)^n >1 \\ \Rightarrow \frac n {n+1} \cdot \left( \frac {n^2} {n^2-1} \right)^n > 1 \)

Wenn wir das ganze nun etwas umformen können wir Bernoulli anwenden um das ganze abzuschätzen

\( \left( \frac {n^2} {n^2-1} \right)^n = \left( 1+ \frac {1} {n^2-1} \right)^n = \left( 1+ \frac {1} {(n+1)(n-1)} \right)^n = \\ \left( 1+ \frac {1} {(n+1)(n-1)} \right)^{n+1} \cdot \frac 1 {\frac {n^2} {n^2-1} } =\left( 1+ \frac {1} {(n+1)(n-1)} \right)^{n+1} \cdot \frac {(n^2 -1)} {n^2} \)

Kommst du nun damit und Bernoulli weiter?

Tut mir Leid das die Antwort so lange gedauert hat. Ich hoffe ich habe keinen Rechenfehler gemacht. Gestern wurde es etwas länger.

Grüße Christian

 

 

geantwortet vor 6 Monate, 4 Wochen
christian strack, verified
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