Stetigkeit überprüfen für mehrdimensionale Funktionen

Aufrufe: 6891     Aktiv: 12.05.2019 um 16:40
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Schönen Sonntag miteinander! 

 

Wie genau weise ich die Stetigkeit mehrdimensionaler Funktionen nach? Kann ich das mit Hilfe der Stetigkeit in einem Punkt(also über links-limes = rechts-limes) oder mit der Folgenstetigkeit?

Ich meinte auch gelesen zu haben dass eine Funktion stetig ist, falls die 2ten Ableitungen mit gemischten indizes gleich sind (f,xy(xy) = f,yx(xy)). Kann das sein?

 

Ps:In meinem fall wäre das Bsp: f(x,y)=(x^3)y-x(y^3)/(x^2)+(y^2) für (x,y) nicht=(0,0) und f(0,0)=0

"Überprüfen sie die partiellen Ableitungen fxy und fyx auf Stetigkeit im Ursprung"

 

Danke im Voraus

mfg

Fabian 

 

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Hallo Fabian 

Prinzipiell können wir im mehrdimensionalen Raum die Stetigkeit mit dem Folgenkriterium zeigen.

Links- bzw. Rechtsstetigkeit reicht hier aber nicht ganz aus, da wir und nicht in \( R \), sondern im \( R^2 \) befinden.

Zu dem Punkt mit den stetigen partiellen Ableitung kannst du mal nach dem Satz von Schwarz suchen. Dieser sagt, dass eine Funktion total Differenzierbar (und somit stetig) ist, wenn alle partiellen Ableitung stetig sind.

 

Die Unstetigkeit deiner Funktion lässt sich leicht zeigen, nimm einfach als Folge \((1/n^4,1/n)\), denn dann passt das mit dem Grenzwert in der Null nicht mehr.

 

Zur Stetigkeit der partiellen Ableitung würde ich einfach mal partiell ableiten und gucken was rauskommt.

 

S1k

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