Cavalieri-Prinzip


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Hallo

Kann mir jemand helfen wie ich auf die Formel, welche ich brauche genau kommen kann?

Letztens hatte ich ja auch eine ähnliche Aufgabe, aber da waren die Grenzen für x und y vorgegeben. Hier sind diese ja von z bezüglich der Ungleichung abhängig.

Vielen Dank

LG 

Wizz

 

Edit : 

 

gefragt vor 6 Monate, 3 Wochen
w
wizzlah,
Student, Punkte: 226
 
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2 Antworten
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Ja fast. Es gilt 

\( \int e^{-2z} dz = - \frac 1 2 e^{-2z} \)

Grüße Christian

geantwortet vor 6 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 17.33K
 

Ohje natürlich :-)

Vielen Dank! DU bist ein Lebensretter
  -   wizzlah, kommentiert vor 6 Monate, 2 Wochen

Sehr gerne :)   -   christian strack, verified kommentiert vor 6 Monate, 2 Wochen
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Hallo,

das Prinzip von Cavalieri besagt, dass zwei Körper das selbe Volumen besitzen, wenn jede Schnittfläche der beiden Körper in entsprechender Höhe parallel zu Grundebene gleich groß ist. 

Also im Prinzip hat ein Körper das selbe Volumen, wenn er gerade oder schief ist. 

Man kann beispielsweise dadurch auch das Volumen eines Zylinders mit der Grundfläche \( \pi r^2 \) und der Höhe \( h \) auch über ein Quader bestimmen. 
Der Quader hat dann die Grundfläche eines Rechtecks, mit den Seiten \( \pi r \) und \( r \).
Da beide Körper auf jeder Höhe eine gleich große Schnittfläche haben, muss ihr Volumen bei gleich großer Höhe auch gleich sein.

Nun zu deiner Aufgabe. 

Wir haben auch hier eine Grundfläche und eine Höhe. Wir vergleichen also unseren Körper mit einem Zylinder, aus dem wir eine Teil herausschneiden. 

Jede Schnittfläche auf der Höhe \(z \) ist eine Kreisfläche mit dem Radius \( r= \sqrt{e^{-2z}} = e^{-z} \)

Nun nutzen wir den Satz von Cavalerie um die verschiedenen Schnittflächen übereinander zu schichten um das Volumen zu bestimmen. Kannst du den Flächeninhalt jeder Schnittfläche bestimmen?

Grüße Christian

geantwortet vor 6 Monate, 2 Wochen
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 17.33K
 

Ist es (x² + y²)*pi für die Fläche und dann entsprechend von 0 - b integrieren ?   -   wizzlah, kommentiert vor 6 Monate, 2 Wochen

Ohje jetzt hat es mein anderer Kommentar entfernt. :-(

Also zur Wiederholung : Ich habe das Prinzip verstanden, habe aber trotzdem noch Mühe das Integral aufzustellen. Ich bin mir nicht sicher wie ich das am besten mache.
Grundsätzlich Integriere ich alle Teilflächen (hier Kreise) innerhalb für das z vorgegebene Intervall.?
  -   wizzlah, kommentiert vor 6 Monate, 2 Wochen


Habe meine Überlegung noch in der Frage hinzugefügt. Für x² + y² = r² habe ich logischerweise einfach den Pythagoras verwendet. Ich hoffe das ist korrekt so :-)
  -   wizzlah, kommentiert vor 6 Monate, 2 Wochen
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