Hallo,

schonmal bei Daniels Playlist zu linearen Funktionen vorbeigeschaut?

Playlist

Mathematische Funktionen allgemein: Allgemein ist eine mathematische Funktion eine Art 'Zahlenverarbeitungsmaschine' --> Du setzt verschiedene x-Werte ein, diese werden entsprechend des Funktionsterms durch einen oder mehrere Rechenschritte berechnet und ein Ergebnis, ein sogenannter Funktionswert (y-Wert) entsteht. Das ursprünglich eingesetzte "x" bildet zusammen mit dem berechneten "y" ein sogenanntes Wertepaar, quasi einen Punkt P(x|y). Hat man mehrere (mindestens zwei) dieser Wertepaare/Punkte gebildet, so ergeben diese zusammen die Wertemenge der Funktion, vergleichbar mit der Lösungsmenge einer normalen Gleichung, nur, dass die Wertemenge meist beliebig viele (unendlich) Lösungen haben könnte. Dann kann man diese Punkte auch noch in ein Koordinatensystem zeichnen. Zeichnet man dann durch diese Punkte den sogenannten Funktionsgraphen, z. B. eine Gerade bei linearen Funktionen oder eine Art Kurve bei Funktionen anderer Art, so hat man die mathematische Funktion graphisch ausgewertet. Damit lassen sich in der Praxis viele Prozesse in Natur, Wissenschaft und Technik mathematisch darstellen und simulieren, hat also durchaus auch viel Sinn außerhalb des Matheunterrichts. ;-) Lineare Funktionen: Sie sind der einfachste Funktionstyp in der Mathematik. Sie sehen in allgemeiner Form so aus: f(x) = m * x + n, also z. B.: f(x) = 2x - 3 oder f(x) = -1/2x + 7. Die Zahl vor dem "x" (allg. "m") steht hierbei für die sogenannte Steigung (oder auch Anstieg oder Wachstumsfaktor) und gibt an, um wie viele y-Schritte der Funktionswert mit jedem 1x-Schritt steigt (wenn m > 0) oder fällt (wenn m < 0). Die Zahl hinten, das sog. "n" (manchmal auch "b") ist der sogenannte y-Achsenabschnitt oder auch Startwert. Er gibt an, welcher Wert bei x=0 vorliegt und damit auf der y-Achse sitzt. Quasi das, was am Anfang schon da ist, daher Startwert. Manchmal gibt es kein "n", dann ist n = 0, also liegt auf dem Koordinatenursprung (0|0). Manchmal ist auch m = 0, damit verschwindet der vordere Teil der Funktion, z. B. f(x) = 0 * x + 5 ==> f(x) = 5. Diesen Sonderfall nennt man konstante Funktion, denn unabhängig vom eingesetzten x-Wert kommt immer 5 heraus, da "x" keinen Einfluss mehr auf das Ergebnis nehmen kann, da es durch die 0 eliminiert wurde. Zeichnerisch wäre das dann eine Parallele Gerade zur x-Achse mit dem Abstand 5. Sind nur zwei Punkte bekannt, die zu einer linearen Funktion gehören sollen, so lässt sich diese rekonstruieren (wiederherstellen, herleiten). Als erstes bestimmen wir die Steigung "m" mit der Formel m = (y2 - y1) / (x2 - x1), z. B. seien die beide Punkte gegeben: P(2|8) und Q(4|6), dann wäre m = (6 - 8) / (4 - 2) = -2 / 2 = -1. Anschließend setzen wir dieses Ergebnis und die x- und y-Werte eines der beiden Punkte in die o. g. allgemeine Form ein und erhalten, so dass nur noch "n" (der y-Achsenabschnitt) als Unbekannte übrigbleibt. Dies lösen wir wie eine ganz normale Gleichung durch ganz normales Umformen. Beispiel anhand der Werte des bisherigen Beispiels: P(2|8) und m = -1 in allgemeine Form [f(x) = m * x + n]: 8 = -1 * 2 + n 8 = -2 + n | +2 10 = n Fertig. ==> f(x) = -1 * x + 10 oder kürzer: f(x) = -x + 10