Hallo,

stelle pro Zeile eine Gleichung auf:
\(g:\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1\\ a_2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}\) einfach zeilenweise gleichsetzen und das LGS auflösen:

\(x_1=a_1+tb_1\\
x_2=a_2+tb_2\)

Löse z.B. die erste Zeile nach t auf: \(t=\dfrac{x_1-a_1}{b_1}\) und setze diesen Wert in die andere Zeile für t ein, erhältst du deine Geradengleichung in Koordinatenform:

\(x_2=a_2+\left (\dfrac{x_1-a_1}{b_1}\right) \cdot b_2\)

Beispiel:

\(g:\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix} \\~\\
I: x_1=2+t \Leftrightarrow t=x_1-2\\
II: x_2=3-2t\)

Eingesetzt in II: \(x_2=3-2\cdot (x_1-2) \Leftrightarrow x_2=7-2x_1\) bzw. \(y=-2x+7\)