Hallo,

bist du sicher das in deinen Summen die b's und c's wirklich zwei Indizes haben? Ich denke es heißt eher

\( c_j = \sum_{i=1}^n a_{ij} b_i , \ b_j = \sum_{i=1}^n d_{ij} c_i \)

Ich denke das dem so ist, da wir \( b_{ij}, c_{ij} \) nirgends definiert haben.

Die Summe bedeutet soviel wie das wir einen neuen Basisvektor durch Linearkombination der alten Basisvektoren darstellen können. Dabei sind die Vorfaktoren der alten Basiselemente genau die Elemente in der i-ten Zeile der Matrix \( A \) bzw \( D \). 

Man nennt \( A \) und \( D \) Basiswechselmatrizen. 

Nun zu deinem Beweis. Die Idee ist absolut richtig ich würde nur nich die Summe weglassen und eben die Indizes korrigeren. Dadurch und einen kleinen Trick erhälst du am Ende auch einen Ausdruck der die Matrixmultiplikation definiert.

Ich will die Summen einmal mit unterschiedlichem Laufindex schreiben

\( c_j = \sum_{i=1}^n a_{ij} b_i , \ b_i = \sum_{j=1}^n d_{ji} c_j \)

Wichtig hierbei, das der Laufindex vorne steht ( \( d_{ji} \) anstatt \( d_{ij} \)).

Nun wählen wir einen beliebigen aber fest gewählten Basisvektor aus \( \mathcal{C} \), nennen wir ihn \( c_k \)

\( c_k = \sum_{i=1}^n a_{ik} b_i \)

Wir setzen die Definition für \( b_i \) ein und erhalten

\( c_k = \sum_{i=1}^n a_{ik} \left( \sum_{j=1}^n d_{ji} c_j \right) \)

Nun ist \( \mathcal{C} \) eine Basis. Also sind ihre Elemente linear unabhängig. Wir können also \( c_k \) nicht durch \( \sum_j \lambda_j c_j \) mit \( j \neq k \) erzeugen. 
Also können wir alle \( d_{ji} \) für \( j \neq k \) gleich Null wählen und erhalen

\( c_k = \sum_{i=1}^n a_{ik} d_{ki} c_k = \left( \sum_{i=1}^n a_{ik} d_{ki} \right) c_k \)

Diese Summe entspricht der Definiton einer Matrixmultiplikation. Und Somit muss wie du schon richtig argumentiert hast diese Matrix die Einheitsmatrix sein. 

Grüße Christian