Hallo,

bei Ebenen und Geraden gibt es ein paar Tricks wie man die Lage erkennt. Vor allem Trick 1 ist machtvoll:

Eine Ebene ist genau dann parallel zur Geraden, wenn der Normalenvektor der Ebene senkrecht zum Normalenvektor der Geraden steht.

Eine Gerade liegt genau dann in einer Ebene, wenn es einen Punkt von g gibt (den Stützvektor), der auf E liegt.

Aus Trick 1 folgt sofort, wenn Trick 1 nicht erfüllt ist, müssen sich Gerade und Ebene schneiden.

Grüße,

h

Hallo,

die Ebenengleichung in Koordinatenform lautet \(E: cx-cy+z=2\)

a) Hierfür muss das Skalarprodukt zwischen dem RV der Geraden und dem NV der Ebene gleich null sein.

\(\begin{pmatrix}1\\ b\\ 1\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}c\\ -c\\ 1\end{pmatrix}=0 \Rightarrow c=\dfrac{1}{b-1}\)

Nun müssen wir noch prüfen, ob die Gerade nicht vielleicht in der Ebene liegt. Setzen wir den OV der Geraden in die Ebenengleichung ein, erhalten wir \(c\cdot a -c\cdot 2 -1\cdot 1=2 \Rightarrow a=\dfrac{3}{c}+2\).

Es muss also \(a\neq \dfrac{3}{c}+2\: \wedge \: c=\dfrac{1}{b-1}\) gelten, damit \(g\) parallel zu \(E\) verläuft, aber nicht mit ihr inzidiert.

b) Hierfür muss das gleiche, wie bei a) gelten, nur dass diesmal \(a=\dfrac{3}{c}+2\) erfüllt sein muss, damit die Gerade auch in der Ebene liegt und nicht echt parallel verläuft.

c)

Damit sich \(g\) und \(E\) schneiden, darf das Skalarprodukt zwischen dem RV von \(g\) und dem NV von \(E\) nicht null sein (Vgl. a).

Es muss also \(c\neq \dfrac{1}{b-1}\) gelten.

Im Übrigen, damit sich beide Objekte in einem rechten Winkel schneiden, müssen der RV von \(g\) und der NV von \(E\) kollinear verlaufen:

\(\begin{pmatrix}1\\ b\\ 1\end{pmatrix}=\lambda \begin{pmatrix}c\\ -c\\ 1\end{pmatrix}\)

Dies ist für \(b=-1,\: c=1\) erfüllt. Für diese Werte (und beliebigem a) gilt \(g \perp E\).