Hallo,

du sollst also die Menge der natürlichen Zahlen als Teilmenge der reellen Zahlen untersuchen?

Das kommt etwas darauf an was ihr bereits in der Vorlesung gemacht und was ihr schon nutzen dürft.

Ist dir klar was Offenheit, Abgeschlossenheit, Beschränktheit und Kompaktheit bedeuten?

Manchmal definiert man nur Abgeschlossenheit oder Offenheit und setzt das andere als Komplement (also eine Teilmenge ist offen wenn ihr Komplement abgeschlossen ist und umgekehrt). 

Wenn dir eine Definiton von denen unklar ist sag bescheid dann gehe ich da nochmal näher darauf ein.

Nun gibt es einen Satz den man relativ früh behandelt der besagt das eine Teilmenge abgeschlossen ist, wenn alle Folgen mit Folgenglieder aus der Teilmenge auch ihren Grenzwert in der Teilmenge haben. 
Jetzt überlege dir mal ob alle Folgen mit natürlichen Zahlen als Folgegliedern gegen eine natürliche Zahl konvergiert?

Nun zur Offenheit. Wie sieht das Komplement von \( \mathbb{N} \) in \( \mathbb{R} \) aus? Ist dieses abgeschlossen? Wenn ja ist \( \mathbb{N} \) als Teilmenge von \( \mathbb{R} \) offen.

Nun die Beschränktheit. Diese zu zeigen (oder zu widerlegen) ist eigentlich am einfachsten. Beschränktheit bedeutet das für alle \( n \in \mathbb{N} \) eine Zahl \( R \in \mathbb{R} \) existiert für die gilt

\( \vert n \vert \leq R \)

Zur Kompaktheit fällt mir sofort der Satz von Heine-Borel ein. Ist der dir bekannt? Habt ihr den behandelt?

Wenn ja ist die Kompaktheit einfach zu zeigen, wenn du die obigen Punkte bearbeitet hast. Der Satz von Heine-Borel besagt, das eine Teilmenge des \( \mathbb{R}^n \) genau dann kompakt ist, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist.

Ich bin mir nicht sicher was du mit inneren Punkte meinst? Kannst du dazu noch was sagen?

Grüße Christian