Hallo,
wir wollen wissen wie viele Schritte wir im Mittel von dem Zustand \( j \) in den Zustand \( i \) benötigen. Diese nennen wir \( m_{ij} \).
Die Wahrscheinlichkeit von einem Zustand \( j \) in den Zustand \( i \) zu gelangen, ist \( p_{ij} \). Nun haben wir aber auch die Möglichkeit in einen anderen benachbarten Zustand \( k \neq i \) zu gelangen. Da wir dann im Zustand \( k \) sind haben wir vom Zustand \( j \) bereits einen Schritt gemacht und brauchen von da dann noch \( m_{ik} \) (Die mittlere Anzahl an Schritten vom Zustand \( k \) in den Zustand \( j \)) weitere Schritte. Also insgesammt\( (1+ m_{ik} ) \) Schritte.
Diese Möglichkeit passiert mit der Wahrscheinlichkeit \( p_{kj} \)
Dies zusammen ergibt
\( m_{ij} = p_{ij} + \sum_{k \neq i} p_{kj} (1+ m_{ik} ) = p_{ij} + \sum_{k \neq i} p_{kj} + \sum_{k \neq i} p_{kj} m_{ik} \)
Nun gilt aber
\( p_{ij} + \sum_{k \neq i} p_{kj} = \sum_k p_{kj} = 1 \)
denn die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ergibt immer 100%=1.
Also erhalten wir
\( m_{ij} = 1 + \sum_{k \neq i} p_{kj} m_{ik} \)
Beziehen wir das nun auf einen Randpunkt, so gilt die selbe Überlegung.
Grüße Christian
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