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Hallo!
Nun, betrachten wir die Untersumme der Funktion \(\displaystyle f(x) = \frac{1}{1+x^2}\). Diese können wir mit dem Integral folgendermaßen darstellen:
\(\displaystyle s \geq \int_0^\infty f(x)\,\mathrm{d}x = \left. \tan^{-1}(x)\right\rvert_0^\infty = \frac{\pi}{2}\).
Da \(\displaystyle f(x) \leq 1\) für alle \(\displaystyle x\geq 1\), können wir folgenden Zusammenhang erkennen:
\(\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq s \leq 1 + \frac{\pi}{2}\).
Sehr grob argumentiert, soll lediglich als Denkstoß dienen.
Gruß.
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einmalmathe
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vielen dank schon mal, aber eine Frage hätte ich noch. Wieso darf man die Summe als integral darstellen? Irgendwie fehlt mir da noch der Zusammenhang. Und wieso darf ich die Funktion so als Untersumme betrachten?
─ joline 03.06.2019 um 20:27
Nun, sicherlich sagt Dir der Begriff der Riemannsumme etwas … Du hast ja die Folge \(\displaystyle a_k \), über die Du aufsummierst. Wenn man es sich genau anschaut, steht ja überall \(\displaystyle\cdot 1\), also ist hier die Breite der Rechtecke \(\displaystyle 1\) und die Höhe der jeweilige Funktionswert. Daher auch die Summenschreibweise. Nun zu der Untersumme: Führe Dir nochmal vor Augen, was eine Untersumme eigentlich ist. Vergleichst Du dies mit meiner Antwort, so solltest Du die Gleichheit erkennen (falls ich einen Fehler gemacht habe, bitte melden!). Der Rest ist soweit klar?
─
einmalmathe
03.06.2019 um 21:42