Hallo!

Ohne mathematisch zu streng zu argumentieren, hier ein trivialer Ansatz:

\(\displaystyle \lim_{n\to \infty} na_n = \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{\frac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{-\frac{\ln(\pi)}{n^2}\pi^{\frac{1}{n}}}{-\frac{1}{n^2}} = \ln(\pi). \)

Für die Ableitung von \(\displaystyle a^{\frac{1}{x}}\) schreibs Du den Ausdruck in \(\displaystyle \exp\left(\frac{1}{x}\cdot\ln(a)\right)\) um und differenzierst normal nach \(x\) weiter.

Bemerkung: Beim vorletzten Gleichheitszeichen wurde die Regeln von de L'Hospital angewandt.

Gruß.