Hallo!
Zunächst führen wir die Polynomdivision durch und erhalten folgenden Ausdruck:
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty} \left(\frac{x+c}{x-c}\right)^x = \lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{2c}{x-c}\right)^x \)
Nun wendet man \(\displaystyle x\mapsto x+c \) an und erhält:
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{2c}{x}\right)^x \cdot \underbrace{\lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{2c}{x}\right)^c}_{\to 1} \overset{!}{=} 4\)
Dies formt man zu
\(\displaystyle \mathrm{e}^{2c} = 4 \quad\Longleftrightarrow\quad c = \frac{\ln\big(2^2\big)}{2} = \ln(2) \)
um.
Schau hier nochmal rein: https://www.wolframalpha.com/input/?i=x+-%3E+infty+(+(x%2Bln(2))%2F(x-ln(2))+)%5Ex
Hinweis: Es gilt weiter, dass
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{a}{n}\right)^{bn} = \lim_{n\to\infty} \exp\left(bn\cdot\ln\left(1+\frac{a}{n}\right)\right) = \exp\left(bn\cdot\frac{a}{n}\right) = \mathrm{e}^{ab}\), wobei benutzt wurde, dass \(\displaystyle \lim_{x\to 0} \ln(1+x) = x \) ist.
Bemerkung: Es gilt weiter, dass
\(\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x+c}{x} = 1 \), also ist die Substitution, wie sie oben angeführt ist, liegitim, denn im Unendlichen gilt die asymtpotische Gleichheit.
Gruß.
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1.57K