Am Besten machst du dir gleich bewusst, dass wir es hier mit einer Summe zu tun haben. Nach den Regeln kannst du jeden Summanden separat ableiten.

\(g(x) = 4x\cdot \ln(x)\)

Produktregel

\(g'(x) = 4\cdot \ln(x) + 4x\cdot\frac1x = 4\ln(x) + 4\)

\(h(x) = x\ln(x)^2\)

Produkt- und Kettenregel

\(h'(x) = \ln(x)^2 + x\cdot2\ln(x)\cdot\frac1x = \ln(x)^2 + 2\ln(x)\)

(Beachte bei der Ableitung von \(\ln(x)^2\), dass wir bei der Ableitung haben \(2\ln(x)\cdot(\ln(x))'\), also die innere Ableitung (Kettenregel))

\(i(x) = 4x\)

\(i'(x) = 4\)

Das nun alles zusammenfassen:

\(f(x) = g(x) - h(x) - i(x)\)

\(f'(x) = g'(x) - h'(x) - i'(x)\)

\(f'(x) = 4\ln(x) + 4 - (\ln(x)^2 + 2\ln(x)) - 4\)

\(f'(x) = -\ln(x)^2 + 2\ln(x) \)

Hallo!

Zuerst einmal solltest Du die hier die Summenregel anwenden: Damit lassen sich die Terme einzeln berechnen.

Hier für den ersten Summanden:

\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(4x\ln(x)\right) = 4\cdot \left(\ln(x)+x\cdot\frac{1}{x}\right) = 4\cdot\big(\ln(x)+1\big) \). Hier wurde sowohl die Faktorregel, als auch die Produktregel angewandt.

Für den zweiten Summanden gilt:

\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left( -x\ln^2(x)\right) = -\left(\ln^2(x) + x\cdot 2\ln(x)\cdot\frac{1}{x}\right) = -\ln^2(x) - 2\cdot\ln(x) \). Hier wurde auf die Produkt- und Kettenregel zurückgegriffen.

Für den letzten Summanden erhälst Du:

\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (-4x) = -4 \).

Nun musst Du alles noch miteinandern addieren und erhälst so das fertige Ergebnis.

Das Ergebnis:

\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (\cdots) = 4\ln(x) - \ln^2(x)-2\ln(x) = \ln(x^2)-\ln^2(x)\).

Gruß.

Hallo,

alternativ ließe sich die Funktion zuerst zu \(-x(\ln (x)-2)^2\) vereinfachen, wodurch man auf die Ableitung \(-2\left(\ln\left(x\right)-2\right)-\left(\ln\left(x\right)-2\right)^2 = \ln(x)(-(\ln(x)-2))\) kommt.