Antisymmetrisch (Äquivalenzrelationen)_ Wer kennt sich aus?

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Hallo zusammen,

wer kann mir bitte bei der Eigenschaft der Äquivalenzrelationen die sogenannte "Antisymmetrie"

helfen? Vielleicht mit 2-3 Skizzen!

Vielen DANK im Voraus.

Beste Grüße

Eva

 

gefragt vor 12 Monate
e
evatsigkana,
Student, Punkte: 50
 
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1 Antwort
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Hallo,

für Äquivalenzrelationen macht die Antisymmetrie nicht sonderlich viel Sinn. 

Eine Äquivalenzrelation ist symmetrisch. Das bedeutet

\( xRy \Rightarrow yRx \)

Also wenn x äquivalent zu y ist, so ist auch y äquivalent zu x. Das einfachste Beispiel ist wohl die Gleichheit.
Ist x gleich y, so ist trivialerweise y gleich x.

Eine Relation ist antisymmetrisch, wenn 

\( xRy \land yRx \Rightarrow x=y \)

Wäre eine Äquivalenzrelation antisymmetrisch, so würde aus \( xRy \) sofort \( yRx \) folgern (Symmetrie) und somit wären alle äquivalenten Elemente gleichzeitig auch das gleiche Element. 

Beispiele für antisymmetrische Relationen sind \( \geq \) bzw \( \leq \). Aber auch die Teilbarkeitsrealtion \( a|b \) auf den natürlichen Zahlen. 

\( a \geq b \land b \geq a \Rightarrow a = b \) 

Denn wenn a größer-gleich b ist, aber auch b größer gleich a, so müssen a und b die gleichen Zahlen sein, denn es wir können keine reelle Zahl finden, die sowohl größer als auch kleiner als eine andere Zahl ist.

\( a | b \land b | a \Rightarrow a = b \), mit \( a,b \in \mathbb{N} \)

Wenn die Zahl a die Zahl b teilt und die Zahl b die Zahl a teilt, dann sind es die selben natürlichen Zahlen. 
Warum gilt dies nicht mehr in den ganzen Zahen? Findest du ein Gegenbeispiel?

Ich hoffe ich konnte die Frage aussreichend klären. Ansonsten frag gerne nochmal nach.

Grüße Christian

geantwortet vor 12 Monate
christian_strack verified
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Vielen vielen Dank, Christian!!!   -   evatsigkana, vor 11 Monate, 3 Wochen
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