Taylorreihen


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Sei f:(-1,∞)→ℝ definiert durch f(x)= x/(x+1) und sei x0=0.

a) Mit vollständiger Induktion zeigen, dass für alle n∈ℕ 

f(n)(x)=(-1)n+1n!/(1+x)n+1 gilt

b) Bestimmen der Taylorreihe T von f mit Entwicklungspunkt x0=0 

c) Zeigen Sie, dass f(x)=T(x) für x∈[0,1[ gilt

 

Hallo, ich habe einigermaßen was aus Aufgabe a) und b) machen können und wollte hier fragen, ob ich auf einem richtigen Weg bin. Bei Aufgabe c) habe ich meine Probleme und wollte fragen, wie ich das angehen soll.

 

gefragt vor 6 Monate
d
daiamel,
Student, Punkte: 15
 
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1 Antwort
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Hallo,

Die a) stimmt

Bei der b) würde ich allgemeiner vorgehen. Es gilt mittels Taylor

\( T(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac {f^{(n)}(x_0)} {n!} (x-x_0)^n \)

Nun haben wir den Entwicklungspunkt \( x_0=0 \) und für die Ableitung die Vorschrift

\( f^{(n)}(x) = (-1)^{n+1} \frac {n!} {(1+x)^{n+1}} \)

Wir erhalten also

\( T(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac {n!} {(1+0)^{n+1}} \cdot \frac 1 {n!} \cdot x^n \)

Das ganze kannst du nun noch etwas zusammenfassen und erhälst deine Taylorreihe.

Nun zur c). Unsere Taylorreihe ist nun eine Potenzreihe. Diese Potenzreihe approximiert unsere Funktion um den Entwicklungspunkt \( x_0 \).
Umso größer unser \( n \) wird in der Taylorformel, desto besser wird die Funktion approximiert. Mit \( n \to \infty \) sollte die Potenzreihe unsere Funktion exakt darstellen (natürlich nur wieder in einer bestimmten Umgebung um unseren Entwicklungspunkt). 

Also überprüfen wir unsere Potenzreihe auf Konvergenz. Wir bestimmen also den Konvergenzradius. Für alle Werte im Konvergenzbereich, konvergiert dann unsere Reihe gegen die ursprüngliche Funktion und es gilt 

\( f(x) = T(x) \)

Grüße Christian

geantwortet vor 6 Monate
christian strack, verified
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