Hallo,

was meinst du genau mit Parametergleichung? Da würde mir nur die folgende Form einfallen

\( K: \vec{x} = \begin{pmatrix} d \\ e \\ f \end{pmatrix} +  R \begin{pmatrix} \sin( \theta ) \cos( \varphi ) \\ \sin ( \theta ) \sin ( \varphi ) \\ \cos ( \theta ) \end{pmatrix} \) 

Mit einem festen Radius \( R \) haben wir dann die Parameter \( \theta \) und \( \varphi \). Je nachdem was wir einsetzen, landen wir auf einem Punkt auf der Kugeloberfläche und können so jeden Punkt auf der Kugel erreichen. 
Der Punkt \( M(d|e|f) \) ist dann der Mittelpunkt unserer Kugel

Ist es das was du gesucht hast?

Ansonsten gibt es noch die Mittelpunktgleichung (Koordinatengleichung), aber aus dieser willst du ja die Parametergleichung bestimmen

\( (x-d)^2 + (y-e)^2 + (z-f)^2 = R^2 \)

und die "standardmäßige" vektorielle Darstellung in kartesischen Koordinanten

\( \left[ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} d \\ e \\ f \end{pmatrix} \right]^2 = R^2 \)

Falls darunter nicht die Gleichung ist die du suchst, melde dich nochmal.

Grüße Christian