Hallo!
Ich würde die b) wie folgt machen:
Substituiere \(\displaystyle a = k+1 \) und erhalte folgenden Ausdruck:
\(\displaystyle \sum_{a\geq 2} \frac{1}{(a-1)!} - \sum_{a\geq 2} \frac{1}{a!} = \mathrm{e}-1 - (\mathrm{e}-2) = 1 \).
Zu der Restgliedabschätzung:
Das Restglied der Exponentialreihe lautet:
\(\displaystyle \vert r_N(x)\vert < 2 \text{ für } \vert x\vert< \frac{1}{2}N + 1 \).
Nun ersetze jedes \(\displaystyle N \) mit \(\displaystyle 2N-1 \) und du erhälst:
\(\displaystyle e = \sum_{k=0}^{2N} \frac{1}{k!} + r_N(x) \), wobei \(\displaystyle 0 < r_N(x) \leq \frac{1}{(2N)!}\cdot 2 \). Damit erhälst Du deine Behauptung, denn Du musst ja immer doppelt so viele Glieder von der Exponentialreihe zusammenfassen, um die Behauptung zu erhalten. Da Du ja bei \(\displaystyle k=0 \) anfängst, musst Du bis \(\displaystyle 2N - 1\) summieren, um \(\displaystyle 2N\) glieder aufsummiert zu haben.
Notiz:
Das letzte Glied er Abschätzung lautet:
\(\displaystyle \frac{x^{N+1}}{(N+1)!}\cdot r_{N}(x)\), wobei \(\displaystyle x = 1 \) zu setzen ist.
Anmerkung:
Nimm die Exponentialreihe und fasse die ersten beiden Terme zusammen, also die Reihe
\(\displaystyle \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \) und vergleiche sie mit den Termen der Reihen in der Aufgabe.
Bsp:
\(\displaystyle \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} = 2 = \frac{2\cdot 1}{(2\cdot 1 - 1)!} \) usw.
Gruß.
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