Hallo abgeloust,

kannst du prinzipiell machen braüchst du aber nicht zwingend. Bei solchen Brüchen ist nur der Koeffizient mit dem höchsten Grad wichtig.

Wenn wir das im Kopf mal durch gehen, sehen wir, dass oben und unten die Höchste Gradzahl 19 beträgt. 

Daher konvergiert das Ganze.

Oben haben wir davor den Koeffizienten \(2^5 \cdot 4^3 = 2048 \)

Analog dazu erhalten wir unten \(2^8 \cdot 1^{11} = 256 \)

Somit konvergiert die Folge gegen \( \frac{2048}{256} = 8\)

(Dies ist die Idee nicht der Beweis!)

Bei der b) kannst du den Bruch durch ausklammern der höchsten Potenz vereinfachen.

Bei der c) überlegen wie der Kosinus so funktioniert und was in der Klammer passiert.

Bei der d) würde ich versuchen oben nicht 9n stehen zu haben sondern 5n und dann können wir mit e arbeiten.

Bei der e) würde ich versuchen \(\sqrt{n}\) auszuklammern.

Bei der f) würde ich veruschen erstmal in den Potenz die +1 und -1 wegzubekommen.

s1k

Hallo!

d)

Du musst nur wissen, dass 

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{a}{n}\right)^{bn} = \mathrm{e}^{ab} \) und

\(\displaystyle \frac{1}{5n} = \frac{\frac{1}{5}}{n} \) gilt.

e)

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{n+\sqrt{9n^2+2n}}{2-8n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n\left(1+\sqrt{9+\frac{2}{n}}\right)}{n\left(\frac{2}{n}-8\right)} = -\frac{1}{2} \)

f)

Ansatz:

Nun Teile betrachten, welche „eine Rolle spielen“ und diese dann umformen – somit erhält man:

\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac{3}{5}\right)^n\cdot\frac{2\cdot3-4}{2\cdot 5} = 0 \).

Zweite Aufgabe, a)

Nur Ansatz – formeller Beweis für die Existenz ist erfolderlich, \(\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n+1} = \lim_{n\to\infty}a_n =: g \)

Nun folgt:

\(\displaystyle g = \frac{g}{1+\sqrt{1+g^2}} \quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt{1+g^2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad g\not\in\mathbb{R} \).

b)

Die Grenzwert wird stets größer, da die Wurzel unbeschränkt ist, also bestimmt divergent gegen \(\displaystyle  +\infty\)

c)

\(\displaystyle g = 3g+2\quad\Longleftrightarrow\quad g = -1 \), die Folge besteht aber nur aus nicht negativen Gliedern, demnach also Widerspruch.

Allgemein gesagt:

Übungsaufgaben durchrechnen, dritte binomische Formel oder bekannte Lemmata verwenden, bei Potenzen stehts nur die „relevanten“ näherer Betrachtung unterziehen, versuchen möglichst viel auszuklammern – es gibt keine pauschale Antwort.

Gruß.