Hallo!

Folgendes:

\(\displaystyle y' + P(x)y = Q(x) \quad\Longleftrightarrow\quad \mu(x)y' + \mu(x)P(x)y = \mu(x)Q(x) \).

Mit der Produktregel erhält man:

\(\displaystyle \mu'(x) = \mu(x)P(x) \quad\Longleftrightarrow\quad \exp\left(\int P(x)\,\mathrm{d}x\right) = \mu(x) \).

Also steht

\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \big(\mu(x)y\big) = \mu(x)Q(x) \quad\Longleftrightarrow\quad y = \frac{\int \mu(x)Q(x)\,\mathrm{d}x}{\mu(x)} \).

Nun hast Du den integrierenden Faktoren:

\(\displaystyle \mu(x) = \exp\left(\int -\frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x\right) = \exp\left(\frac{1}{x}\right)\cdot\underbrace{\exp(C)}_{=: C^*} \).

Mit der Anfangsbedingung bestimmst Du die Konstante.

Nun rechnest Du:

\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(C^*\cdot\int\exp\left(\frac{1}{x}\right)\,\mathrm{d}x\cdot y\right) = 1  \).

Anmerkung: \(\displaystyle \exp\left(\frac{1}{x}\right) = -\exp(x).\)

Der Rest sollte klar sein …

P.S.: Dieses Video ist sehr hilfreich …

Gruß.