Ungleichung a*x^(n+2) - (a+1)*x^(n+1) + 1 >= 0 nach x lösen?

Aufrufe: 1049     Aktiv: 11.06.2019 um 21:52
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Es gibt die folgenden Einschränkungen,falls diese hilfreich sind:
0<a<1
x>1

n ist eine natürliche Zahl >=1

x soll dabei so gewählt sein (abhängig von  a) dass die ungleichung für alle n gilt.

also interessieren tut mich das kleinste x, sodass unabhängig vom konkreten wert von n die Ungleichung immer erfüllt wird.

ich bin mir ziemlich sicher dass bspw für a=1,x=2 die gleichung für alle n erfüllt ist.
aber wie ist es generell, bei vorgegebenem a, was ist das kleinstmögliche x, sodass die gleichung für alle n>=1 erfüllt ist?

Wie würde man eigentlich die zugehörige gleichung nach x auflösen? geht das überhaupt?

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Hallo!

 

Man erhält Folgendes:

 

\(\displaystyle x^{n+1}(ax-a-1)+1 \geq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad a(x-1) \geq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x \geq 1 \) – Divisionen in den Zwischenschritten ist erlaubt, denn diese sind von \(\displaystyle  0\) verschieden.

 

Nun, der zweite Teil der Aufgabe sieht mir nach einer Extremwertaufgabe aus, also einfach \(\displaystyle f(x) := ax^{n+2} - (a+1)x^{n+1} \) und \(\displaystyle f'(x) \overset{!}{=} 0 \) setzen und mit \(\displaystyle f''(x) > 0 \) überprüfen (dann ist es ein Minimum und falls die erste Gleichung nur eine Lösung besitzt ist dies das globale Minimum).

 

Gruß.

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Hm, die 3 Ungleichungen gelten zwar, auch unabhängig voneinander. Aber inwiefern helfen die mir hier weiter?   ─   densch 10.06.2019 um 23:27
Ehrlich gesagt verstehe ich es auch nicht. Also Du siehst ja, dass die Rechnung stimmt, der zweite Teil ist Oberstufen-Niveau, war das die vollständige Aufgabenstellung?   ─   einmalmathe 11.06.2019 um 00:09
ja, das ist sie.
aber wie komme ich nun auf das kleinste x für das das polynom >0 ist??   ─   densch 11.06.2019 um 21:52

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