Uneigentliches Integral - Wert des Integrals bestimmen

Aufrufe: 850     Aktiv: 14.06.2019 um 20:20
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\frac {x-x^-1} {1+x}

Integrationsbereich von 0-8. 

Könnte mir jemand einen Tipp geben, wie diese Funkion zu integrieren ist?

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Hallo,

als Tipp: \(\dfrac{x-x^{-1}}{1+x}=\dfrac{x-1}{x}=1-\dfrac{1}{x}\)

Und somit \(\displaystyle\int 1\, dx - \int \dfrac{1}{x}\, dx\).


Da aber bei \(x=0\) eine Polstelle existiert, divergiert das Integral.

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Vielen Dank für den hilfreichen Tipp !
Wie würde denn das ganze ausschauen, wenn ich im Zähler statt x, die Zahl 1 stehen würde ?
Danke im Voraus :)   ─   boltzmann 14.06.2019 um 19:20
In welchem Zähler?   ─   maccheroni_konstante 14.06.2019 um 19:22
\frac {1-x^-1} {1+x}
In dem Zähler der Ausgangsfunktion :)
  ─   boltzmann 14.06.2019 um 19:30
Dann würde die Funktion \(\dfrac{1-1^{-1}}{1+x}=0\) lauten.   ─   maccheroni_konstante 14.06.2019 um 19:35
Ich denke ich habe die erneute Fragestellung etwas missverständlich formuliert.
In dem Fall, in dem die Funktion gleich \frac {1-x^-1} {1+x} ist, bin ich mir unsicher, wie ich das Integral bilden kann. Hierzu gibt es ja mehrer Möglichkeiten und ich weiß nur nicht, welchen Ansatz ich treffen soll (es ist auch gestattet, Ansätze aus den Intefraltafeln, wie zum Beispiel in der Mathematischen Formelsammlung nach Papula zu treffen). Vielen Dank für deine Bemühungen :)   ─   boltzmann 14.06.2019 um 19:46
Das Lösen würde eher unter 8.3 Partialbruchzerlegung fallen.

\(\dfrac{1-\frac{1}{x}}{x+1}=\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{1}{x}\)

Und dann mit der Summenregel getrennt integrieren:
\(-\displaystyle\int \dfrac{1}{x}\, dx + \int \dfrac{2}{x+1} = -\ln(|x|) + 2\ln(|x+1|)+C\)
(Beträge beim komplexwertigen Logarithmus weglassen)   ─   maccheroni_konstante 14.06.2019 um 20:13
Perfekt, danke :)
   ─   boltzmann 14.06.2019 um 20:20

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