Hallo!

a) Ich würde zeigen, dass \(\displaystyle \exp(x) \) bijektiv ist und dass \(\displaystyle \exp(x) \) streng monoton steigt. Da \(\displaystyle \exp(x) = 1 \Longleftrightarrow x = 0 \), folgt daraus automatisch, dass \(\displaystyle \exp(x) > 1 \) für \(\displaystyle x > 0 \).

b) \(\displaystyle \exp(x) \) besitzt kein (globales) Minimum und kann keine negativen Werte annehmen, folglich muss die \(\displaystyle  >0\) sein. Unter Benutzung von a) erhält man die Behauptung.

c) \(\displaystyle x\mapsto ix \) und so zeigen, dass \(\displaystyle \mathrm{e}^{ix} = \cos(x)+i\sin(x) \). Somit gilt:

\(\displaystyle \vert \mathrm{e}^{ix}\vert = \sqrt{\big(\cos(x)+i\sin(x)\big)\big(\cos(x)-i\sin(x)\big)} = 1\)

d) Dies ist offensichtlich, denn

\(\displaystyle \sin(z) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad z = k\pi \) mit \(\displaystyle k\in\mathbb{Z} \).

Außerdem

\(\displaystyle \cos(z) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad z = (2k+1)\frac{\pi}{2} \) mit \(\displaystyle k\in\mathbb{Z} \).

Beide Nullstellen besitzen den Imaginärteil \(\displaystyle \mathrm{Im}(z_{1,2}) = 0 \) und sind somit reell.

Gruß.