Hallo!

1) Sei der Oberflächeninhalt \(\displaystyle O \) gegeben und \(\displaystyle  a,b,c\neq 0\) Seitenlängen, wobei \(\displaystyle a\neq b\neq c \).

Daraus folgt, dass

\(\displaystyle a+b \neq 0 \) und \(\displaystyle c = \frac{O-ab}{a+b} \) gilt.

Bspw. wähle man \(\displaystyle  a = 2\), \(\displaystyle b=1 \) und somit \(\displaystyle c = \frac{1}{3} \). Der Oberflächeninhalt beträgt demnach \(\displaystyle  O = 6\) und das Volumen \(\displaystyle  V = \frac{2}{3}\). Für den Würfel wiederum: 

\(\displaystyle 6 \overset{!}{=} 6a^2 \quad\Longleftrightarrow\quad a = 1 \quad\Longleftrightarrow\quad V = 1 > \frac{2}{3}\).

Also für den Würfel allgemein:

\(\displaystyle  V = \left(\frac{O}{6}\right)^{\frac{3}{2}}\). Hieran sieht man, dass das Volumen zwangsläufig größer sein muss, denn für den Quadar gilt:

\(\displaystyle V = ab\frac{O-ab}{a+b} \), denn es muss \(\displaystyle O > ab \) gelten!

2) Mantelfläche: \(\displaystyle  \pi \bar{r}s\), Radius in Abhängigkeit von der Höhe:

\(\displaystyle \left(1-\frac{h}{r}\right)\cdot r =: \bar{r} \) mit \(\displaystyle -r \leq h\leq r \) – also für \(\displaystyle h = -r \) liegt hier die größte Mantelfläche vor.

Der Kugelradius ist hierbei als \(\displaystyle  r\) bezeichnet worden.

Anmerkung:

\(\displaystyle  s = \sqrt{\left(r-\frac{h}{r}\right)^2+\left(\left(1-\frac{h}{r}\right)r\right)^2}\).

Bspw. Sei \(\displaystyle r=1 \) und \(\displaystyle  h=-1\). Demnach erhält man \(\displaystyle 2\sqrt{2} \), wohingegen man bei \(\displaystyle  h=0\) nur \(\displaystyle  \sqrt{2}\) rauskriegt.

Gruß.