Quadratische Gleichungen mit Parameter

Aufrufe: 872     Aktiv: 17.06.2019 um 14:43
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Könnte mir jemand folgende quadratische Gleichung mit Parameter mittels der Formel für quadratische Gleichungen lösen?

 

\( x^{2}-x=m(m+1) \)

 

Danke und Gruss

 

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Student, Punkte: 55

 
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Hallo!

 

\(\displaystyle x^2-x-m(m-1) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{1\pm\sqrt{1+4m(m+1)}}{2} \).

 

Gruß.

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Was sind dann die Lösungen für x1 und x2?
   ─   student-ms 16.06.2019 um 20:48
Also es sollte x1=-m und x2=m+1 ergeben, aber ich weiss nicht, wie ich darauf komme   ─   student-ms 16.06.2019 um 20:50
@einmalmathe Das Rechenzeichen bei "(m-1)" müsste doch ein Plus sein, oder nicht?
@student-ms \(1+\sqrt{4m(m+1)+1} = 1+\sqrt{(2m+1)^2} = 1+|2m+1| \stackrel{m\geq 0}{\longrightarrow} \dfrac{2m+2}{2}\) bzw. \(1-\sqrt{4m(m+1)+1} = 1-\sqrt{(2m+1)^2} = 1-|2m+1| \stackrel{m\geq 0}{\longrightarrow} \dfrac{-2m}{2}\).   ─   maccheroni_konstante 16.06.2019 um 20:55
@maccheroni_konstante: Oh, stimmt, habe ich übersehen. Danke!   ─   einmalmathe 16.06.2019 um 20:59
@student-ms: Dann eben \(\displaystyle a(x+m)(x-m-1)\).   ─   einmalmathe 16.06.2019 um 21:00
@maccheroni_konstante wieso steht aber unter der Wurzel 4m(m+1)+1? Es ist ja b^2-4ac? also dann wäre das 4m(m+1) ja negativ oder nicht?   ─   student-ms 16.06.2019 um 21:38
Hast du meine Antwort eigentlich gesehen? :D   ─   endlich verständlich 16.06.2019 um 21:40
Dann hast du dich verrechnet. Hier böte sich auch eher die pq-Formel an.   ─   maccheroni_konstante 16.06.2019 um 22:07
@endlich verständlich ja, aber du hast es ja umgekehrt erklärt. Eigentlich weiss ich ja die Lösung nicht und muss diese herausfinden :-). Ich komme dennoch nicht draus, warum maccheroni_konstante im Diskriminanten kein - sondern ein + hat   ─   student-ms 17.06.2019 um 09:07
Und ich muss es eben mit der Formel lösen, also nicht mit der pq-Formel   ─   student-ms 17.06.2019 um 09:08
\(\displaystyle \sqrt{b^2-4ac} \), das \(\displaystyle c=-m(m-1)\), also dreht sich das Vorzeichen um …   ─   einmalmathe 17.06.2019 um 10:25
ach ja logisch, jetzt ists klar danke euch viel mals   ─   student-ms 17.06.2019 um 14:43

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Hallo,

du kannst die Lösungen durch einfaches Raten sehen:

\( x^2 - x = x\cdot(x - 1)\)

Und wenn \(x = m + 1\) gilt, dann hast du (\(m+1)\cdot(m + 1 - 1) = (m+1)\cdot m\).

Und wenn \(x = -m\) gilt, dann hast du \(-m\cdot(-m-1) = m\cdot(m+1)\).

Errechnen kannst du sie mit der p-q-Formel:

\(x^2 - x - (m^2 + m) = 0\)

Also gilt

\(x_1/x_2 = \frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4} + m^2 + m}\)

Was in der Wurzel steht ist aber gerade \( (m+\frac{1}{2})^2\), also aufgelöst:

\(x_1/x_2 = \frac{1}{2}\pm (m + \frac{1}{2})\)

Und somit \(x_1 = \frac{1}{2}+(m + \frac{1}{2})=m+1\) und 

\(x_2 = \frac{1}{2}-(m + \frac{1}{2})=-m\) 

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Student, Punkte: 2.6K

 
Wie nutzt man hier eigentlich den Formel-Editor? :P   ─   endlich verständlich 16.06.2019 um 21:01
\ ( CODE \ )   ─   einmalmathe 16.06.2019 um 21:01
Ah perfekt, vielen Dank! :)   ─   endlich verständlich 16.06.2019 um 21:02

Perfekt! Mal-Punkt mit \cdot und \(\displaystyle \pm\) mit \pm. Die Wurzel mit \sqrt{INHALT}.
  ─   einmalmathe 16.06.2019 um 21:03
Also eigentlich wie bei Latex :D   ─   endlich verständlich 16.06.2019 um 21:05
Ganz genau! Ist ja schließlich MathJax …   ─   einmalmathe 16.06.2019 um 21:07
Dann sehen meine Antworten gleich sehr viel schöner aus ;)   ─   endlich verständlich 16.06.2019 um 21:13

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