Partielle Ordnung

Aufrufe: 1053     Aktiv: 20.06.2019 um 20:01
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Hallo ihr Retter!

Wer kann mir ein paar Hinweise zu der Aufgabe geben?

Die Teilbarkeitsrelation T fur natürrliche Zahlen definiert eine partielle Ordunung auf der Menge {2, . . . , 30}. Wie sehen die maximalen Elemente aus, wie die minimalen.

Danke mehrmals!

Eva

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Hallo,

 

überleg dir mal, welche Zahlen überhaupt keine Teiler mehr haben (somit also minimal sind), die haben sogar einen speziellen Namen: Primzahlen ;)

Dann kannst du dir überlegen, dass die Zahlen \(2\) bis \(15\) nicht maximal sein können, weil alle mit \(2\) multipliziert werden können und du immer noch in der Menge bist. Aber was ist mit den anderen Zahlen?

 

 

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Danke sehr, endlich verstanden!
Wie kann man 15 mit 2 multiplizieren?
Können die Zahlen 5,7,11,13,17,19,23,27 sowohl minimal als auch maximal sein? Geht so was überhaupt?   ─   evatsigkana 20.06.2019 um 12:46

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Hallo,

was habt ihr denn bis jetzt probiert? Es ist immer hilfreich eure Überlegung dazu zu schreiben, damit besser auf Verständnisprobleme eingegangen werden kann.

Mach dir erstmal klar was die Teilbarkeitsrelation bedeutet (\(\text{a teilt b} \Rightarrow a|b \)). Ist dir klar wie das maximale und minimale Element definiert ist?

Schreibe dir die Definition des maximalen und minimalen Elements einmal mit der Teilbarkeitsrelation auf und dann überlege dir für welche Elemente deiner Menge diese erfüllt wird.

Grüße Christian

 

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Hallo Christian!
Vielen Dank für deine Hinweise. Ich habe alle Definitionen niedergeschrieben und versucht irgendwie die Elemente zu finden, aber es fällt mir schwer. Kann es sein, dass 2,3 die minimalen Elemente und 28,30 die maximalen?   ─   evatsigkana 19.06.2019 um 19:56
Deine Elemente stimmen schon mal, aber es sind nicht alle. Versuchen wir die Defintion mal anschaulich auseinander zu nehmen.

Ein minimales Element in Bezug auf die Teilbarkeitsrelation, ist so ein Element, das entweder nicht von einem anderen Element geteilt wird oder wenn es von einem Element geteilt wird auch dieses Element teilt.
Der zweite Teil ist nicht ganz so wichtig. Es bezieht sich hier eher drauf, das jede Zahl sich selbst teilt. Wir müssen uns also überlegen, welche Zahl alles keinen Teiler hat. Da gibt es ein sehr bekannten Begriff für :)

Ein maximales Element teilt kein anderes Element, außer dieses Element teilt auch das maximale Element.
Also suchst du aus deiner Menge alle Elemente raus, die kein anderes Element teilt (außer natürlich wieder sich selbst).

Grüße Christian
   ─   christian_strack 20.06.2019 um 11:09
Danke schön!
Sind dann die Zahlen 5,7,11,13,17,19,23,27,29 sowohl minimal als auch maximal?   ─   evatsigkana 20.06.2019 um 12:44
Nein das stimmt nicht. Fang erstmal mit Minimal an. Endlich verständlich hat ja schon vorweggenommen das dies genau die Primzahlen sind. Den Primzahlen werden nur durch sich selbst und die 1 geteilt. Da die 1 aber nicht in unserer Menge ist, sind die Primzahlen unsere minimalen Elemente.

Nun zu den maximalen Elementen. Nehmen wir die 5. Wäre die 5 maximal, würde das bedeuten das wenn 5 eine Zahl teilt, diese Zahl auch die 5 teilt. Es gilt
\( 5 | 10 , \ 5 | 15 , \ 5 | 20 , \ldots \)
Jedoch teilt keine dieser Zahlen die 5, also kann die 5 kein maximales Element sein.

Welche Elemente deiner Menge teilen den kein anderes Element deiner Menge?   ─   christian_strack 20.06.2019 um 12:50
Dann sind es minimale Elemente: 2,3,5,7,9,11,13,17 und maximale 16 bis 30? Oder habe ich alles durcheinander im Kopf?   ─   evatsigkana 20.06.2019 um 13:11
Das sind immer noch nicht alle. Sonst schau dir mal eine Liste von Primzahlen an. Dir fehlen noch 3 minimale Elemente.
Bei den maximalen Elementen liegst du richtig. Keine dieser Zahlen teilen eine andere Zahl und somit ist die Implikation sofort erfüllt.   ─   christian_strack 20.06.2019 um 20:01

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