Hallo,

Also für reflexiv, muss gelten:
$$\forall x\in\mathbb{Z}:(x,x)\in R$$

Das gilt aber aufgrund der ersten Gleichheit. Das hat nix mit \(x=21\) zu tun! :)

Wie sieht es mit symmetrisch aus? Dafür musst du dir überlegen, wie \((x,y)\) in dein \(R\) reinkommt. Entweder gilt \(x=y\) dann ist die Sache klar, weil wenn du \(x\) und \(y\) vertauschst, dann ist es genauso erfüllt. Was ist aber wenn \((x,y)\) in \(R\) ist, weil \(x=42-y\) gilt. Dann gilt nach Umformen \(y=42-x\). Also gilt auch das.

Wie zeigt man jetzt transitiv? Es gibt vier Möglichkeiten, wie \((x,y)\) und \((y,z)\) in \(R\) gelangt sein können. Findest du für jede Kombination auch \(x=z\) oder \(x=42-z\)? :)

Hat das etwas mit der transitiven Hülle zu tun ? Jetzt ist es aus bei mir:-)

Hallo,

na dann ran an die Transitivität, ist viel einfacher, als du denkst :)

Die vier Möglichkeiten sind:

$$x=y\quad\text{ und }\quad y=z\quad\Rightarrow x=z$$

$$x=y\quad\text{ und }\quad y=42-z\quad\Rightarrow x=42-z$$

$$x=42-y\quad\text{ und }\quad y=z\quad\Rightarrow x=42-z$$

$$x=42-y\quad\text{ und }\quad y=42-z\quad\Rightarrow x= 42 - (42-z) = z$$

In allen Fällen muss also 

$$(x,z)\in R$$

gelten! ;)

Die Äquivalenzklasse der \(-1\) ist auch nicht schwer zu bestimmen, du musst dir einfach alle Zahlen überlegen, für die gilt

$$x=-1$$

oder

$$x=42-(-1)$$

Hoffe es ist jetzt klar! :)

Ok, die transitivität habe ich verstande.

Aber die Äquvalenzklasse -1

x=42−(−1)

Wenn ich das als Gleichung betrachte dann ist x =43 ,jetzt entsteht wirrwarr bei mir :-)

die Äquvalenzklasse [-1] = {43}?

Ja genau, außerdem ist \(-1\) auch drin.

Die Äquivalenzklasse von \([-1]\) besteht nämlich genau aus all den Elementen \(x\), sodass \((x,-1)\in R\) gilt und das ist für \(-1\) und \(34\) der Fall, somit gilt:

Äquivalenzklasse \([-1]=\{-1,43\}\)