Symmetrische Relation, transitive Hülle und reflexiv-transitive Hülle

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Hallo allerseits,

bei der untenstehenden Uni-Aufgabe habe ich einige Probleme.

Zeigen Sie: ist R ⊆ A × A eine symmetrische Relation, so sind auch die transitive Hülle R+ und die reflexiv-transitive Hulle ¨ R* symmetrisch. Gilt auch jeweils die Umkehrung?

Gegeben sind:

R Teilmenge AxA ist eine symmetrische Relation, dh Va,b € A : R(a,b) -> R(b,a) 

R+ und R* sind auch symmetrisch. 

Zu zeigen: Ob es für die Umkehrung gilt. Welche Umkehrung meint die Aufgabe? Von R+ und R*? Können wir so was schreiben: (R+) hoch -1 und (R*) hoch - 1?

Ich würde sagen, dass es gilt, aber die Schritte fallen mit schwer. Habt ihr einen Hinweis bitte? 

Vielen DANK!

Eva

 

gefragt vor 11 Monate, 2 Wochen
e
evatsigkana,
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1 Antwort
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Hallo,

falls \(R\) schon eine symmetrische Relation ist und es sind \((x,y)\), sowie \((y,z)\) aus dieser Relation, \((x,z)\) aber nicht, dann kommt \((x,z)\) bei der tranitiven Hülle hinzu. Genauso müssen wegen der Symmetrie von \(R\) aber auch schon \((y,x)\) und \((z,y)\) in der Relation gewesen sein und somit wird auch \((z,x)\) hinzugefügt. Die transitive Hülle einer symmetrischen Relation bleibt also symmetrisch.

Die reflexive Hülle enthält sowieso nur neue Elemente der Form \((x,x)\) und die sind natürlich symmetrisch. Somit ist auch die reflexiv-transitive Hülle symmetrisch.

Die Umkehrung meint, dass \(R+\) und \(R*\) symmetrsich sind und du sagen sollst, ob \(R\) dann auch symmetrisch ist. 

Betrachte die Menge \(\{1,2,3\}\). Deine Relation \(R\) sei gegeben durch \(R=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,3)\}\). Sie ist nicht symmetrisch, weil \((3,2)\) fehlt. In der transitiven Hülle kommt \((3,2)\) aber hinzu und somit ist die transitive Hülle symmetrisch und da sie gleich der reflexiv-transitiven Hülle ist, ist auch diese symmetrisch.

Die Umkehrung gilt somit nicht! :)

geantwortet vor 11 Monate, 2 Wochen
endlich verständlich verified
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