E-Funktion vereinfachen

Aufrufe: 132     Aktiv: vor 1 Jahr, 1 Monat

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Guten Abend,

ich soll den Shift-Operator \Phi mit \Phi[f] := f(t-1) anwenden auf:

\(e^{2 \pi \cdot i \cdot t}\) + \(e^{-t \cdot ln(2)}\)

Laut meiner Lösung kann ich das vereinfach zu:

\(e^{2 \pi \cdot i \cdot t}\) + 2\(\cdot\) \( (1/2)^t \)

Der Zweite Teil ist mir soweit klar. Kann mir jmd erklären, warum ich \(e^{2 \pi \cdot i \cdot (t-1)}\) vereinfach kann zu \(e^{2 \pi \cdot i \cdot t} \)

Besten Gruß

 

gefragt vor 1 Jahr, 1 Monat
n
neresca,
Student, Punkte: 10

 

Du kannst Malpunkte mit \cdot schreiben und mit *( *) ohne Sterne deine Formelklammern machen! :)

  -   endlich verständlich, verified vor 1 Jahr, 1 Monat

Du hast bei der e-Funktion auch zweimal das gleiche geschrieben, weswegen mir deine Frage unklar ist. :P

  -   endlich verständlich, verified vor 1 Jahr, 1 Monat

Die Vereinfachung gilt nach Anwendung des Operators. Meine Frage lautet also wieso kann ich (e^{2 \pi \cdot i \cdot (t−1)}) vereinfachen zu: (e^{2 \pi \cdot i \cdot t})

  -   neresca, vor 1 Jahr, 1 Monat

Du musst dein pi so schreiben \pi und eine Leerzeile dazwischen lassen :)

  -   endlich verständlich, verified vor 1 Jahr, 1 Monat
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2 Antworten
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Hallo!

 

Vereinfache doch zunächsteinmal den Ausdruck an sich:

 

\(\displaystyle \mathrm{e}^{2\pi\cdot i\cdot t} + \mathrm{e}^{-t\cdot\ln(2)} = 1 + 2^{-t} \).

 

Anmerkung: Es ist offenkundig, dass \(t\in\mathbb{Z}\) ist.

 

Gruß.

geantwortet vor 1 Jahr, 1 Monat
e
einmalmathe verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 1.55K
 

Auch hier ist mir nicht klar, warum ich den ersten Teil vereinfachen kann zu (-1)^t . Möglicherweise fehlt mir da Grundlagenwissen.

  -   neresca, vor 1 Jahr, 1 Monat

Du musst bei der e-Funktion aufpassen. Erstens ist (e^{2\pi i}=1) und zweitens könnte (t) ja erstmal aus einer beliebigen Zahlenmenge sein und somit möglicherweise reell oder komplex sein! :)

  -   endlich verständlich, verified vor 1 Jahr, 1 Monat

P.S.: Also das muss man dann schon wissen, dass ich mich hier auf ganzzahliges (t) beziehe …

  -   einmalmathe, verified vor 1 Jahr, 1 Monat

Ich denke mit den Infos komme ich weiter. Besten Dank. Ich werde mal versuchen meine Formeln leserlich anzupassen ;)

  -   neresca, vor 1 Jahr, 1 Monat
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Hallo,

es gilt:

$$e^{2\pi\cdot i}=1.$$

Damit musst du aber sehr aufpassen, wenn noch mehr im Exponenten steht, denn sonst passieren dir schlimme Dinge:

$$-1=e^{\pi\cdot i}=e^{\frac{2}{2}\pi\cdot i}=(e^{2\pi\cdot i})^{\frac{1}{2}}=1^{\frac{1}{2}}=\sqrt{1}=1$$

und das ist offensichtlich falsch, obwohl erstmal vielleicht nicht klar ist, was schief gelaufen ist. Wenn in der \(e\)-Funktion \(2\pi i\) alleine steht, ist alles gut, aber wenn da irgendwas dran multipliziert wird, gelten nicht alle bekannten Umformungsschritte der \(e\)-Funktion! :)

geantwortet vor 1 Jahr, 1 Monat
endlich verständlich verified
Student, Punkte: 2.6K
 


Ja, genau sowas meine ich, aber sowas ist Grundlagenwissen und ich erläutere ja nicht alles bis ins kleinste Detail … aber sehr gute Antwort, von mir ein Upvote!

  -   einmalmathe, verified vor 1 Jahr, 1 Monat

Naja, er hatte ja gefragt, was man mit dem (e^{2\pi i}) anstellen kann, deswegen wollte ich ihm das noch mit auf den Weg geben, weil ich das selbst lange Zeit falsch gemacht habe. :P

  -   endlich verständlich, verified vor 1 Jahr, 1 Monat

Ich finde es auch gut erklärt, ich wollte nur sagen, dass ich davon ausgegangen bin, dass er dies schon wusste … aber nichts desto trotz ist die Antwort Spitze!

  -   einmalmathe, verified vor 1 Jahr, 1 Monat
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