Darstellungsmatrizen

Aufrufe: 109     Aktiv: vor 11 Monate, 1 Woche

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Ich verstehe nicht so ganz die Angehensweise, wenn es darum geht diese Darstellungsmatrizen zu berechnen (v.a. im Raum der Polynome). Ich währe sehr froh, wenn du mir das ein wenig erklären könntest... :)

 

Lg edi

 

gefragt vor 11 Monate, 2 Wochen
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edoardo.peyer,
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Hallo,

ein Polynom vom Grad \( n \leq 2 \) hat die allgemeine Form

\( p(x) = a + bx + cx^2 \)

Nun sind \( \{1,x,x^2\} \) unsere Basisvektoren. Wir könnten die allgemeine Form auch als Vektor schreiben

\( p = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \)

Nun ist unsere Abbildung 

\( L(p) = p'' + 4 p' +3p \)

also berechnen wir doch mal \( p' \) und \( p'' \)

\( p'(x) = b+ 2cx \\ p''(x) = 2c \)

nochmal als Vektoren 

\( p' = \begin{pmatrix} b \\ 2c \\ 0 \end{pmatrix} \\ p'' = \begin{pmatrix} 2c \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \)

Damit berechnet sich \( L(p) \) zu?

Nun hast du eine Abbildungsmatrix \( M \), für die gilt

\( M \cdot p = L(p) \) 

Nun nehmen wir die 3 Basisvektoren 

\( 1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ x = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ x^2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \)

und berechnen ihre Bilder \( L(1), L(x) \) und \( L(x^2) \). Für deine Abbildungsmatrix gilt dann

\( \begin{pmatrix} \vert & \vert & \vert \\ L(1) & L(x) & L(x^2) \\ \vert & \vert & \vert \end{pmatrix} \)

Achtung, wir bilden hier von der Standardbasis des Vektorraums der Polynome in die Standardbasis ab. Würden wir das nicht, so müssten wir die Bilder unserer Basisvektoren, noch als Linearkombinationen unserer neuen Basis schreiben und die Koeffizienten spaltenweise in die Matrix eintragen.

Grüße Christian

geantwortet vor 11 Monate, 1 Woche
christian_strack verified
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Sehr gerne :)

Bin mir nicht ganz sicher wie ich deine Matrix zu lesen habe ;)

\( M = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 2 \\ 0 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \)

Als Probe kannst du immer einen allgemeinen Vektor 

\( p = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \)

einsetzen und gucken ob du \( L(p) \) erhälst.

Grüße Christian 

geantwortet vor 11 Monate, 1 Woche
christian_strack verified
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Danke viel mal für die ausführliche Antwort! :)

Währe M=( 3 0 0 , 4 3 0 , 2 8 3 ) dann richtig?

geantwortet vor 11 Monate, 1 Woche
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edoardo.peyer
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Super! Danke vielmals!

geantwortet vor 11 Monate, 1 Woche
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edoardo.peyer
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Sehr gerne :)   -   christian_strack, verified vor 11 Monate, 1 Woche
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